Math
Гіпотеза Коллатца
Парне — навпіл, непарне — потроїти й додати одиницю: кожен старт падає до одиниці, і ніхто не знає чому — політ одного числа, ландшафт часів зупинки до 4096 і те саме правило з 3n − 1 та 5n + 1, які зациклюються й тікають.
Що відбувається
Одне правило: парне число поділи навпіл, непарне потрой і додай одиницю, і повторюй. Кожен старт, який хтось пробував, падає до одиниці — 27 вибирається до 9232 на 77-му кроці й приземляється на 111-му, — і ніхто не довів, що падає кожен. Сцена польоту малює шлях одного числа крок за кроком у логарифмічному масштабі: світна голова вибирається на непарних кроках (помаранчеві) і падає на діленнях навпіл (золоті), а два сусіди йдуть привидами: 26 приземляється за десять кроків, 28 за вісімнадцять, 27 за сто одинадцять. Сцена ландшафту розкладає повний час зупинки кожного числа до 4096 рельєфом світних стовпчиків: рекордсмени — кожному треба більше кроків, ніж будь-якому меншому старту, — підсвічені червоним, останній з них 3711 із 237 кроками; клік по стовпчику читає його. Середнє 75, найчастіший час зупинки 43, а підгонка за ln n іде з нахилом 11 і від'ємним вільним членом, вище за асимптотичну евристику 2/ln(4/3) = 6.95: у середньому непарний крок множить на 3/2, і за ним обов'язково йде ділення навпіл, тож пара коштує множника 3/4 — дрейф униз, і це вся причина, чому в гіпотезу вірять, і зовсім не доведення. Сцена правил змінює константу: по шістдесят польотів, забарвлених за долею. 3n + 1 відправляє додому всю першу тисячу стартів. У 3n − 1 два зайві цикли, через 5 і через 17, і 651 з першої тисячі закінчує в одному з них. У 5n + 1 дрейф 5/4 угору: 833 з першої тисячі вилітають за 2^60, за верхній край графіка, і сама сімка витрачає на це 719 кроків.
Рівняння модуля
Рівняння правило: n → n/2 (n парне), n → 3n + 1 (n непарне); повний час зупинки = кількість кроків до 1; 27: 111 кроків, пік 9232 на кроці 77, 41 непарний крок і 70 поділів навпіл; 26: 10 кроків, 28: 18, 97: 118 (пік знову 9232), 871: 178 (пік 190996) дрейф: непарний крок дає 3n + 1 ≈ 3n/2 після поділу навпіл, що неодмінно йде за ним, тож пара кроків (непарний, потім парний) коштує в середньому множник 3/4, а траєкторія з k непарними кроками потребує понад k·log₂3 = 1.585 k поділів навпіл, щоб спуститися; 3^41 / 2^70 = 0.031 < 1/27, як і має бути, щоб потрапити в 1 ландшафт до 4096: рекордсмени (кожному потрібно більше кроків, ніж будь-якому меншому стартовому числу): 1, 2, 3, 6, 7, 9, 18, 25, 27, 54, 73, 97, 129, 171, 231, 313, 327, 649, 703, 871, 1161, 2223, 2463, 2919, 3711 (237 кроків); середнє 75.13; найчастіший час зупинки 43 (87 стартових чисел); метод найменших квадратів: час зупинки ≈ 11.12 ln n − 6.22 на 2 … 4096; евристичний (асимптотичний) нахил 2/ln(4/3) = 6.95 3n − 1: перша тисяча стартових чисел: 349 потрапляють у 1, 651 - у цикл - через 5 (5 → 14 → 7 → 20 → 10 → 5, 306 стартових чисел) або через 17 (18 членів, 345 стартових чисел); найвищий пік серед тих, що потрапили, 132860 5n + 1: дрейф 5/4 > 1; перша тисяча стартових чисел: 81 потрапляє в 1, 86 - у цикл - через 13 (63) або 17 (23) - а 833 перевищують 2^60; одному лише 7 потрібно 719 кроків, щоб перевищити 2^60; найвищий пік серед тих, що потрапили, 1170496
