Math
Conjetura de Collatz
Mitad si es par, triple más uno si es impar: todo inicio cae a uno, nadie sabe por qué - el vuelo de un número, el paisaje de los tiempos de parada hasta 4096 y la misma regla con 3n − 1 y 5n + 1, que ciclan y escapan.
Qué ocurre
Una regla: divide el número por dos si es par, triplícalo y suma uno si es impar, y repite. Todo inicio que alguien haya probado cae a uno - 27 sube a 9232 en el paso 77 y aterriza en el 111 - y nadie ha demostrado que todos lo hagan. La escena del vuelo traza el camino de un número paso a paso en escala logarítmica, una cabeza luminosa que sube en los pasos impares (naranja) y baja en las mitades (dorado), con sus dos vecinos como fantasmas: 26 aterriza en diez pasos, 28 en dieciocho, 27 en ciento once. La escena del paisaje extiende el tiempo total de parada de cada número hasta 4096 como un terreno de barras luminosas: los recordistas - cada uno necesita más pasos que todo inicio menor - se iluminan en rojo, el último de ellos 3711 con 237 pasos; haz clic en una barra para leerla. La media es 75, el tiempo de parada más común 43, y el ajuste frente a ln n corre con pendiente 11 e intercepto negativo, por encima de la heurística asintótica 2/ln(4/3) = 6.95: en promedio un paso impar multiplica por 3/2 y le sigue por fuerza una mitad, así que cada par cuesta un factor 3/4 - la deriva es hacia abajo, y esa es toda la razón por la que se cree la conjetura y nada de la demostración. La escena de reglas cambia la constante: sesenta vuelos cada una, coloreados por su destino. 3n + 1 manda a casa a los mil primeros inicios. 3n − 1 tiene dos ciclos extra, por 5 y por 17, y 651 de los mil primeros acaban en uno de ellos. 5n + 1 tiene deriva 5/4 hacia arriba: 833 de los mil primeros se disparan más allá de 2^60, por encima de la gráfica, y el 7 solo tarda 719 pasos en llegar.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones regla: n → n/2 (n par), n → 3n + 1 (n impar); tiempo total de parada = pasos hasta llegar a 1; 27: 111 pasos, máximo 9232 en el paso 77, 41 pasos impares y 70 divisiones por dos; 26: 10 pasos, 28: 18, 97: 118 (máximo 9232 otra vez), 871: 178 (máximo 190996) deriva: un paso impar da 3n + 1 ≈ 3n/2 tras la división por dos que debe seguirle, de modo que un par impar-par cuesta en promedio un factor 3/4, y un vuelo con k pasos impares necesita más de k·log₂3 = 1.585 k divisiones por dos para descender; 3^41 / 2^70 = 0.031 < 1/27, como debe ser para aterrizar en 1 paisaje hasta 4096: poseedores del récord (cada uno necesita más pasos que todo inicio menor): 1, 2, 3, 6, 7, 9, 18, 25, 27, 54, 73, 97, 129, 171, 231, 313, 327, 649, 703, 871, 1161, 2223, 2463, 2919, 3711 (237 pasos); media 75.13; el tiempo de parada más común 43 (87 inicios); mínimos cuadrados: tiempo de parada ≈ 11.12 ln n − 6.22 sobre 2 … 4096; pendiente heurística (asintótica) 2/ln(4/3) = 6.95 3n − 1: primeros mil inicios: 349 caen en 1, 651 en un ciclo - pasando por 5 (5 → 14 → 7 → 20 → 10 → 5, 306 inicios) o por 17 (18 miembros, 345 inicios); el mayor pico de un aterrizaje 132860 5n + 1: deriva 5/4 > 1; primeros mil inicios: 81 caen en 1, 86 en un ciclo - pasando por 13 (63) o por 17 (23) - y 833 superan 2^60; 7 por sí solo tarda 719 pasos en superar 2^60; el mayor pico de un aterrizaje 1170496
