Math
Espirales de primos
Los números dispuestos en una espiral cuadrada, los primos encendidos: aparecen diagonales que no deberían estar, cuatro veces más densas que el cuadrado, y con 41 en el centro el n² + n + 41 de Euler baja por una de ellas; la espiral de Sacks, y π(N) frente a N/ln N mientras crece la espiral.
Qué ocurre
Escribe 1 en el centro, 2 a su derecha, y sigue dando vueltas en una espiral cuadrada - arriba, izquierda, abajo, derecha, los brazos creciendo en uno cada dos giros - y enciende cada primo. Stanisław Ulam lo hizo en papel durante una charla aburrida en 1963, y las diagonales aparecieron solas. Aquí la espiral crece ante ti, una cabeza luminosa recorre el camino, los primos siguen encendidos mientras los compuestos se apagan en la oscuridad del cuadrado. Marca las diagonales y se dibujan las cinco más ricas con sus cuentas: en un cuadrado de 201 × 201 los primos son el 10.5 % de los números, pero en la diagonal x + y = 58 son 68 de 143 celdas, 4.5 veces más densos - y 323 de las 646 diagonales largas no contienen ni un primo, porque las celdas de una diagonal comparten la paridad de su número y una de cada dos diagonales solo lleva pares. Una diagonal es un polinomio cuadrático en el paso, y algunos cuadráticos son ricos en primos y otros yermos: pon 41 en el centro y el n² + n + 41 de Euler baja por la diagonal x = y, primo para todo n de 0 a 39 y para 581 de los mil primeros. Enciende los primos gemelos, o el polinomio, y cambia el número inicial. La espiral de Sacks, r = √n y θ = 2π√n, alinea los cuadrados perfectos en un rayo y da a cada cuadrático su propia curva, de modo que la misma estructura se lee como curvas en vez de rectas. La gráfica sigue π(N) frente a N/ln N mientras crece la espiral: el cociente deriva hacia 1 desde arriba, el teorema de los números primos, medido aquí hasta un millón.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones criba: de Eratóstenes hasta 10^6; π(N) = 25, 168, 1229, 9592, 78498 para N = 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶; N/ln N = 21.7, 144.8, 1085.7, 8685.9, 72382; li(N) = 30.1, 177.6, 1246.1, 9630.4, 78628; π(N) / (N/ln N) → 1 desde arriba (1.15, 1.16, 1.13, 1.10, 1.08) Ulam: 1 en el origen, 2 en (1, 0), luego arriba, izquierda, abajo, derecha con brazos 1, 1, 2, 2, 3, 3 …; los cuadrados impares (2m + 1)² están en (m, −m); 9 → (1, −1), 25 → (2, −2), 100 → (−4, 5), 1000 → (9, 16) diagonales: x − y = c o x + y = c; a lo largo de una, el número es un polinomio cuadrático en el paso; las celdas de una diagonal comparten la paridad de su número, así que una de cada dos diagonales contiene solo números pares; 201 × 201 (40401 números, 4236 primos, densidad 0.1048): la más rica x + y = 58 con 68/143 (4.54 ×), x + y = 18 con 80/183, x − y = ±40 con 70/161; 323 de 646 diagonales largas no contienen ningún primo; la más pobre de las impares, x + y = 1, contiene 1 de cada 200 Euler: n² + n + 41 es primo para n = 0 … 39 (n = 40 da 41²) y para 581 de n = 0 … 999; en la espiral que empieza en 41 sus valores están en (k, k): la diagonal x = y; en la espiral que empieza en 1 se dispersan Sacks: r = √n, θ = 2π√n; los cuadrados k² tienen θ = 2πk - un solo rayo; cada n² + n + c es una curva propia teorema de los números primos: π(N) ~ N/ln N ~ li(N); la densidad de primos cerca de N es 1/ln N; Hardy–Littlewood: la densidad de primos entre los valores de un polinomio cuadrático es una constante por 1/ln N, y la constante depende del polinomio - conjeturado, no demostrado
