Math
Spirales de nombres premiers
Les nombres posés sur une spirale carrée, les premiers allumés : des diagonales apparaissent qui ne devraient pas être là, quatre fois plus denses que le carré, et avec 41 au centre le n² + n + 41 d'Euler descend l'une d'elles ; la spirale de Sacks, et π(N) contre N/ln N à mesure que la spirale grandit.
Ce qui se passe
Écris 1 au milieu, 2 à sa droite, et continue en spirale carrée - haut, gauche, bas, droite, les bras s'allongeant d'un cran tous les deux tours - et allume chaque nombre premier. Stanisław Ulam l'a fait sur papier pendant un exposé ennuyeux en 1963, et les diagonales sont apparues d'elles-mêmes. Ici la spirale grandit sous tes yeux, une tête lumineuse parcourt le chemin, les premiers restent allumés tandis que les composés s'éteignent dans l'obscurité du carré. Coche les diagonales et les cinq plus riches sont tracées avec leurs comptes : sur un carré de 201 × 201 les premiers font 10.5 % des nombres, mais sur la diagonale x + y = 58 ils sont 68 sur 143 cases, 4.5 fois plus denses - et 323 des 646 longues diagonales ne contiennent aucun premier, parce que les cases d'une diagonale partagent la parité de leur nombre et qu'une diagonale sur deux ne porte que des pairs. Une diagonale est un polynôme du second degré en le pas, et certains polynômes sont riches en premiers, d'autres stériles : mets 41 au centre et le n² + n + 41 d'Euler descend la diagonale x = y, premier pour tout n de 0 à 39 et pour 581 des mille premiers. Allume les premiers jumeaux, ou le polynôme, et change le nombre de départ. La spirale de Sacks, r = √n et θ = 2π√n, aligne les carrés parfaits sur un rayon et donne à chaque polynôme sa propre courbe, si bien que la même structure se lit en courbes plutôt qu'en droites. Le graphique suit π(N) contre N/ln N à mesure que la spirale grandit : le rapport dérive vers 1 par le haut, le théorème des nombres premiers, mesuré ici jusqu'à un million.
Équations du module
Équations crible : Ératosthène jusqu'à 10^6 ; π(N) = 25, 168, 1229, 9592, 78498 pour N = 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶ ; N/ln N = 21.7, 144.8, 1085.7, 8685.9, 72382 ; li(N) = 30.1, 177.6, 1246.1, 9630.4, 78628 ; π(N) / (N/ln N) → 1 par valeurs supérieures (1.15, 1.16, 1.13, 1.10, 1.08) Ulam : 1 à l'origine, 2 en (1, 0), puis vers le haut, la gauche, le bas, la droite avec des bras de longueur 1, 1, 2, 2, 3, 3 … ; les carrés impairs (2m + 1)² se trouvent en (m, −m) ; 9 → (1, −1), 25 → (2, −2), 100 → (−4, 5), 1000 → (9, 16) diagonales : x − y = c ou x + y = c ; le long de l'une, le nombre est une fonction quadratique du pas ; les cellules d'une diagonale partagent la parité de leur nombre, donc une diagonale sur deux ne contient que des nombres pairs ; 201 × 201 (40401 nombres, 4236 nombres premiers, densité 0.1048) : la plus riche x + y = 58 avec 68/143 (4.54 ×), x + y = 18 avec 80/183, x − y = ±40 avec 70/161 ; 323 des 646 longues diagonales ne contiennent aucun nombre premier ; la plus pauvre des impaires, x + y = 1, en contient 1 sur 200 Euler : n² + n + 41 est premier pour n = 0 … 39 (n = 40 donne 41²) et pour 581 des valeurs n = 0 … 999 ; sur la spirale qui commence à 41 ses valeurs se trouvent en (k, k) : la diagonale x = y ; sur la spirale qui commence à 1 elles se dispersent Sacks : r = √n, θ = 2π√n ; les carrés k² ont θ = 2πk - un seul rayon ; chaque n² + n + c est une courbe à part théorème des nombres premiers : π(N) ~ N/ln N ~ li(N) ; la densité des nombres premiers près de N est 1/ln N ; Hardy–Littlewood : la densité des nombres premiers parmi les valeurs d'un polynôme du second degré est une constante fois 1/ln N, la constante dépendant du polynôme - conjecturé, non démontré
