Math
Tournesol
Le tournesol de Vogel poussé graine par graine, r = √n et θ = n·α : glisse sur le disque, l'angle balaie, les spirales se déroulent, s'écrasent en rayons et s'enclenchent à l'angle d'or 137,508°, où la paire la plus proche vaut 1,602 à toute taille et les familles sont des nombres de Fibonacci ; l'empilement mesuré en direct, une tâche sur l'angle et le graphe de l'empilement selon l'angle.
Ce qui se passe
Place chaque nouvelle graine au même angle de la précédente et un peu plus loin — r = √n, pour que chaque graine reçoive la même aire — et regarde ce que fait l'angle. À un tour rationnel, un septième disons, les graines s'alignent sur sept rayons, presque vides entre eux, et la paire la plus proche fond vers zéro à mesure que le disque grandit. À 137,3° les spirales se déroulent en une seule famille qui laisse des trous. À 137,508°, l'angle d'or 360/φ², le disque se remplit uniformément : la paire la plus proche vaut 1,602 avec trois cents graines et 1,602 avec mille, et les deux familles de spirales visibles sont toujours des nombres de Fibonacci consécutifs, 21 et 34, puis 34 et 55, puis 55 et 89. Glisse sur le disque et l'angle balaie par centièmes de degré ; le graphe enregistre la paire la plus proche à chaque angle visité, une aiguille à l'angle d'or, une autre à l'angle de Lucas 99,5°, et des vallées à chaque tour rationnel. Les graines sont colorées par famille, les spirales sont donc les couleurs. Un capitule de tournesol, une pomme de pin et un ananas font exactement cela : une plante qui ajoute chaque bourgeon un angle d'or après le précédent n'a jamais à planifier son empilement.
Équations du module
Équations Vogel (1979) : la graine n en r = √n, θ = n·α - aire égale par graine, donc l'espacement moyen reste voisin de 1.7 unité de √n quand le disque grandit angle d'or : α = 360°/φ² = 137.50776°, φ = (1 + √5)/2 ; l'angle de Lucas 360°/(φ + 2) = 99.5016° ; 360° − α est l'image en miroir paire la plus proche : le minimum, sur le disque, de la distance au plus proche voisin ; angle d'or 1.602 pour 300 graines et 1.602 pour 1000 ; 137.3° → 1.10 ; 137.6° → 0.97 ; un septième de tour → 0.20 pour 300, 0.11 pour 1000 (sept rayons) ; Lucas 1.574 familles (parastiches) : les deux |i − j| les plus fréquents parmi les paires de plus proches voisins ; angle d'or : 34 et 21 pour 300 graines, 55 et 34 pour 1000, 144 pour 4000 - des nombres de Fibonacci consécutifs ; Lucas : 47 et 76 ; 137.3° : une famille de 21 avec 973 graines sur 1000 fenêtre de l'exercice : 300 graines, paire la plus proche ≥ 1.5 pour α dans 137.438 … 137.528 (0.09°), 137.408 donne 1.43 ; l'angle de Lucas convient aussi plus proches voisins : grille de cases de côté 2, le premier trouvé l'emporte - le même parcours dans le jumeau Python et dans le modèle C#
