Math
Girasole
Il girasole di Vogel cresciuto seme dopo seme, r = √n e θ = n·α: trascina sul disco, l'angolo scorre, le spirali si srotolano, collassano in raggi e si agganciano all'angolo aureo 137,508°, dove la coppia più vicina è 1,602 a qualunque taglia e le famiglie sono numeri di Fibonacci; l'impacchettamento misurato in diretta, un compito sull'angolo e il grafico dell'impacchettamento contro l'angolo.
Cosa succede
Metti ogni nuovo seme allo stesso angolo dal precedente e un po' più in fuori — r = √n, così ogni seme riceve la stessa area — e guarda cosa fa l'angolo. A un giro razionale, un settimo diciamo, i semi si allineano su sette raggi, in mezzo resta quasi vuoto, e la coppia più vicina si stringe verso zero mentre il disco cresce. A 137,3° le spirali si srotolano in una sola famiglia che lascia buchi. A 137,508°, l'angolo aureo 360/φ², il disco si riempie uniformemente: la coppia più vicina è 1,602 con trecento semi e 1,602 con mille, e le due famiglie di spirali che vedi sono sempre numeri di Fibonacci consecutivi: 21 e 34, poi 34 e 55, poi 55 e 89. Trascina sul disco e l'angolo scorre per centesimi di grado; il grafico registra la coppia più vicina a ogni angolo che visiti, un ago all'angolo aureo, un altro all'angolo di Lucas 99,5°, e valli a ogni giro razionale. I semi sono colorati per famiglia, quindi le spirali sono i colori. Un capolino di girasole, una pigna e un ananas fanno esattamente questo: una pianta che aggiunge ogni gemma un angolo aureo dopo la precedente non deve mai pianificare il suo impacchettamento.
Equazioni del modulo
Equazioni Vogel (1979): il seme n in r = √n, θ = n·α - area uguale per ogni seme, perciò la spaziatura media resta vicina a 1.7 unità di √n al crescere del disco angolo aureo: α = 360°/φ² = 137.50776°, φ = (1 + √5)/2; l'angolo di Lucas 360°/(φ + 2) = 99.5016°; 360° − α è l'immagine speculare coppia più vicina: la distanza minima tra vicini più prossimi sul disco; aureo 1.602 con 300 semi e 1.602 con 1000; 137.3° → 1.10; 137.6° → 0.97; un settimo di giro → 0.20 con 300, 0.11 con 1000 (sette raggi); Lucas 1.574 famiglie (parastiche): i due |i − j| più comuni tra le coppie di vicini più prossimi; aureo: 34 e 21 con 300 semi, 55 e 34 con 1000, 144 con 4000 - numeri di Fibonacci consecutivi; Lucas: 47 e 76; 137.3°: una famiglia di 21 con 973 semi su 1000 finestra dell'obiettivo: 300 semi, coppia più vicina ≥ 1.5 per α in 137.438 … 137.528 (0.09°), 137.408 dà 1.43; passa anche l'angolo di Lucas vicini più prossimi: griglia a contenitori di cella 2, vince il primo trovato - la stessa scansione nel gemello Python e nel modello C#
