Math
Подсолнух
Подсолнух Фогеля, растущий семечко за семечком, r = √n и θ = n·α: тяни по диску — угол плывёт, спирали расходятся, схлопываются в лучи и защёлкиваются на золотом угле 137,508°, где ближайшая пара 1,602 при любом размере, а семейства — числа Фибоначчи; упаковка измеряется вживую, задача на угол и график упаковки от угла.
Что происходит
Клади каждое новое семечко на один и тот же угол от предыдущего и чуть дальше — r = √n, чтобы каждому досталась одна площадь, — и смотри, что делает угол. При рациональном повороте, скажем в седьмую долю, семечки выстраиваются на семь лучей, между лучами почти пусто, а ближайшая пара сжимается к нулю, пока диск растёт. При 137,3° спирали разматываются в одно семейство с прорехами. При 137,508°, золотом угле 360/φ², диск заполняется ровно: ближайшая пара 1,602 при трёхстах семечках и 1,602 при тысяче, а два видимых семейства спиралей — всегда соседние числа Фибоначчи: 21 и 34, потом 34 и 55, потом 55 и 89. Тяни по диску — угол плывёт на сотые градуса; график записывает ближайшую пару при каждом угле, где ты побывал: игла на золотом угле, вторая на угле Люка 99,5° и провалы на каждом рациональном повороте. Семечки раскрашены по семейству, так что спирали — это цвета. Так устроены корзинка подсолнуха, шишка и ананас: растению, которое ставит каждую почку на золотой угол от предыдущей, не нужно планировать упаковку.
Уравнения модуля
Уравнения Фогель (1979): семечко n на r = √n, θ = n·α - равная площадь на семечко, поэтому среднее расстояние остаётся около 1.7 единицы √n при росте диска золотой угол: α = 360°/φ² = 137.50776°, φ = (1 + √5)/2; угол Люка 360°/(φ + 2) = 99.5016°; 360° − α - зеркальное отражение ближайшая пара: наименьшее расстояние до ближайшего соседа по диску; золотой 1.602 при 300 семечках и 1.602 при 1000; 137.3° → 1.10; 137.6° → 0.97; седьмая часть оборота → 0.20 при 300, 0.11 при 1000 (семь лучей); Люка 1.574 семейства (парастихи): два самых частых значения |i − j| среди пар ближайших соседей; золотой: 34 и 21 при 300 семечках, 55 и 34 при 1000, 144 при 4000 - последовательные числа Фибоначчи; Люка: 47 и 76; 137.3°: одно семейство из 21 с 973 из 1000 семечек окно задачи: 300 семечек, ближайшая пара ≥ 1.5 для α в 137.438 … 137.528 (0.09°), для 137.408 получается 1.43; угол Люка тоже проходит ближайшие соседи: корзинная сетка с ячейкой 2, побеждает первый найденный - один и тот же обход в двойнике на Python и в модели на C#
