Math
Słonecznik
Słonecznik Vogela rosnący nasiono po nasionie, r = √n i θ = n·α: przeciągnij po tarczy, kąt płynie, spirale się rozwijają, zapadają w promienie i zaskakują na kącie złotym 137,508°, gdzie najbliższa para to 1,602 przy każdym rozmiarze, a rodziny to liczby Fibonacciego; upakowanie mierzone na żywo, zadanie o kąt i wykres upakowania od kąta.
Co się dzieje
Kładź każde nowe nasiono o ten sam kąt dalej od poprzedniego i odrobinę dalej od środka - r = √n, by każde dostało tę samą powierzchnię - i patrz, co robi kąt. Przy obrocie wymiernym, powiedzmy o jedną siódmą, nasiona ustawiają się na siedmiu promieniach, między nimi prawie pusto, a najbliższa para kurczy się ku zeru, gdy tarcza rośnie. Przy 137,3° spirale rozwijają się w jedną rodzinę z lukami. Przy 137,508°, kącie złotym 360/φ², tarcza wypełnia się równo: najbliższa para to 1,602 przy trzystu nasionach i 1,602 przy tysiącu, a dwie widoczne rodziny spiral to zawsze kolejne liczby Fibonacciego - 21 i 34, potem 34 i 55, potem 55 i 89. Przeciągnij po tarczy, a kąt płynie o setne stopnia; wykres zapisuje najbliższą parę przy każdym odwiedzonym kącie: igła na kącie złotym, druga na kącie Lucasa 99,5° i doliny przy każdym obrocie wymiernym. Nasiona są barwione według rodziny, więc spirale to kolory. Koszyczek słonecznika, szyszka i ananas robią dokładnie to samo: roślina, która stawia każdy pączek o kąt złoty dalej od poprzedniego, nigdy nie musi planować upakowania.
Równania modułu
Równania Vogel (1979): nasiono n w r = √n, θ = n·α - równe pole na nasiono, więc średni odstęp pozostaje bliski 1.7 jednostki √n, gdy tarcza rośnie kąt złoty: α = 360°/φ² = 137.50776°, φ = (1 + √5)/2; kąt Lucasa 360°/(φ + 2) = 99.5016°; 360° − α to odbicie lustrzane najbliższa para: minimalna odległość do najbliższego sąsiada na tarczy; kąt złoty 1.602 przy 300 nasionach i 1.602 przy 1000; 137.3° → 1.10; 137.6° → 0.97; jedna siódma obrotu → 0.20 przy 300, 0.11 przy 1000 (siedem promieni); kąt Lucasa 1.574 rodziny (parastychy): dwie najczęstsze wartości |i − j| wśród par najbliższych sąsiadów; złoty: 34 i 21 przy 300 nasionach, 55 i 34 przy 1000, 144 przy 4000 - kolejne liczby Fibonacciego; Lucas: 47 i 76; 137.3°: jedna rodzina 21 obejmująca 973 z 1000 nasion okno zadania: 300 nasion, najbliższa para ≥ 1.5 dla α z przedziału 137.438 … 137.528 (0.09°), 137.408 daje 1.43; kąt Lucasa też spełnia warunek najbliżsi sąsiedzi: siatka koszyków o komórce 2, wygrywa pierwszy znaleziony - ten sam przebieg w bliźniaku w Pythonie i w modelu C#
