Math
Соняшник
Соняшник Фогеля, що росте зернина за зерниною, r = √n і θ = n·α: тягни по диску — кут пливе, спіралі розходяться, схлопуються в промені й защіпаються на золотому куті 137,508°, де найближча пара 1,602 за будь-якого розміру, а родини — числа Фібоначчі; пакування вимірюється наживо, задача на кут і графік пакування від кута.
Що відбувається
Клади кожну нову зернину на один і той самий кут від попередньої і трохи далі — r = √n, щоб кожній дісталася однакова площа, — і дивись, що робить кут. За раціонального повороту, скажімо в сьому частку, зернини шикуються на сім променів, між ними майже порожньо, а найближча пара стискається до нуля, поки диск росте. За 137,3° спіралі розмотуються в одну родину з прогалинами. За 137,508°, золотого кута 360/φ², диск заповнюється рівно: найближча пара 1,602 за трьохсот зернин і 1,602 за тисячі, а дві видимі родини спіралей — завжди сусідні числа Фібоначчі: 21 і 34, потім 34 і 55, потім 55 і 89. Тягни по диску — кут пливе на соті градуса; графік записує найближчу пару за кожного кута, де ти побував: голка на золотому куті, друга на куті Люка 99,5° і провали на кожному раціональному повороті. Зернини розфарбовані за родиною, тож спіралі — це кольори. Так улаштовані кошик соняшника, шишка й ананас: рослині, що ставить кожну бруньку на золотий кут від попередньої, не треба планувати пакування.
Рівняння модуля
Рівняння Фогель (1979): насінина n на r = √n, θ = n·α - однакова площа на насінину, тому середня відстань між сусідами лишається близько 1.7 одиниць √n, коли диск росте золотий кут: α = 360°/φ² = 137.50776°, φ = (1 + √5)/2; кут Люка 360°/(φ + 2) = 99.5016°; 360° − α є дзеркальним відображенням найближча пара: мінімальна відстань до найближчого сусіда по диску; золотий 1.602 при 300 насінинах і 1.602 при 1000; 137.3° → 1.10; 137.6° → 0.97; сьома частина оберту → 0.20 при 300, 0.11 при 1000 (сім променів); Люка 1.574 сімейства (парастихи): два найчастіші |i − j| серед пар найближчих сусідів; золотий: 34 і 21 при 300 насінинах, 55 і 34 при 1000, 144 при 4000 - послідовні числа Фібоначчі; Люка: 47 і 76; 137.3°: одне сімейство з 21, що охоплює 973 із 1000 насінин вікно завдання: 300 насінин, найближча пара ≥ 1.5 для α у 137.438 … 137.528 (0.09°), 137.408 дає 1.43; кут Люка теж проходить найближчі сусіди: сітка кошиків із клітинкою 2, перший знайдений перемагає - той самий обхід у двійнику на Python і в моделі C#
