Math
Inversion : des cercles aux droites
Déplacez C pour translater le cercle, le losange r pour son rayon et P le long du bord. Faites passer le cercle par O. L’anneau doré a R = 1 ; ses points restent fixes. Réglez ρ pour que le dernier cercle touche le premier après un tour. Les numéros correspondent entre les vues. Démarrer fait glisser la chaîne ; une chaîne fermée reste fermée.
Ce qui se passe
Déplacez C pour translater le cercle, le losange r pour son rayon et P le long du bord. Faites passer le cercle par O. L’anneau doré a R = 1 ; ses points restent fixes. Déplacez A ou B jusqu’à l’intersection. Les tangentes et leurs images montrent des angles égaux avec une orientation inversée. Chaque vue garde la même échelle sur les deux axes. Réglez ρ pour que le dernier cercle touche le premier après un tour. Les numéros correspondent entre les vues. Démarrer fait glisser la chaîne ; une chaîne fermée reste fermée. L’inversion agit sur le même rayon : OP·OP′ = R². Hors de O, elle conserve la taille des angles et inverse l’orientation. Les longueurs et les centres des cercles ne sont généralement pas conservés.
Équations du module
Équations I(P) = P/|P|²; R = 1; OP·OP′ = 1; I(I(P)) = P, P ≠ O q = |c|² − r²; q ≠ 0: C′ = c/q, r′ = r/|q|; I(c) ≠ C′ (r > 0, c ≠ O) q = 0 : 2c·X = 1 ; d(O, droite) = 1/(2|c|) ; O → ∞ DI(P)v = (v − 2P(P·v)/|P|²)/|P|²; α′ = −α; Δα = |α + α′| Steiner: r = (ρ−1)/2; Δφ = 2π − 2n·arcsin((ρ−1)/(ρ+1)) Δφ = 0: ρ = (1 + sin(π/n))/(1 − sin(π/n)); n = 3…12
