Math
Спирали простых
Числа, выложенные на квадратную спираль, простые подсвечены: появляются диагонали, которых не должно быть, вчетверо плотнее квадрата, а с 41 в центре многочлен Эйлера n² + n + 41 сбегает по одной из них; спираль Сакса и π(N) против N/ln N по мере роста спирали.
Что происходит
Напиши 1 посередине, 2 справа от неё и иди дальше по квадратной спирали — вверх, влево, вниз, вправо, плечи растут на единицу каждые два поворота, — и подсвети каждое простое. Станислав Улам сделал это на бумаге во время скучного доклада в 1963 году, и диагонали появились сами. Здесь спираль растёт у тебя на глазах: светящаяся голова бежит по пути, простые остаются гореть, составные гаснут в темноту квадрата. Включи диагонали — и пять самых богатых нарисуются со счётом: на квадрате 201 × 201 простых 10.5 % чисел, а на диагонали x + y = 58 их 68 из 143 клеток, в 4.5 раза плотнее, — и 323 из 646 длинных диагоналей не содержат ни одного простого, потому что клетки диагонали делят чётность своего числа и каждая вторая диагональ держит только чётные. Диагональ — квадратный многочлен от шага, и одни квадратные многочлены богаты простыми, а другие пусты: поставь 41 в центр, и многочлен Эйлера n² + n + 41 сбежит по диагонали x = y, простой при каждом n от 0 до 39 и при 581 из первой тысячи. Подсвети близнецы или многочлен, поменяй число в центре. Спираль Сакса, r = √n и θ = 2π√n, выстраивает полные квадраты на одном луче и даёт каждому квадратному многочлену свою кривую, так что та же структура читается кривыми, а не прямыми. График держит π(N) против N/ln N по мере роста спирали: отношение сползает к 1 сверху — теорема о распределении простых, измеренная здесь до миллиона.
Уравнения модуля
Уравнения решето Эратосфена до 10^6; π(N) = 25, 168, 1229, 9592, 78498 при N = 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶; N/ln N = 21.7, 144.8, 1085.7, 8685.9, 72382; li(N) = 30.1, 177.6, 1246.1, 9630.4, 78628; π(N) / (N/ln N) → 1 сверху (1.15, 1.16, 1.13, 1.10, 1.08) Улам: 1 в начале координат, 2 в (1, 0), затем вверх, влево, вниз, вправо со звеньями длиной 1, 1, 2, 2, 3, 3 …; нечётные квадраты (2m + 1)² стоят в (m, −m); 9 → (1, −1), 25 → (2, −2), 100 → (−4, 5), 1000 → (9, 16) диагонали: x − y = c или x + y = c; вдоль каждой число является квадратичной функцией шага; клетки диагонали имеют одинаковую чётность числа, поэтому каждая вторая диагональ содержит только чётные числа; 201 × 201 (40401 чисел, 4236 простых, плотность 0.1048): богаче всех x + y = 58 с 68/143 (4.54 ×), x + y = 18 с 80/183, x − y = ±40 с 70/161; 323 из 646 длинных диагоналей не содержат простых; беднейшая нечётная, x + y = 1, содержит 1 из 200 Эйлер: n² + n + 41 просто при n = 0 … 39 (n = 40 даёт 41²) и для 581 из n = 0 … 999; на спирали, начинающейся с 41, его значения лежат в (k, k): на диагонали x = y; на спирали, начинающейся с 1, они разбросаны спираль Сакса: r = √n, θ = 2π√n; квадраты k² имеют θ = 2πk - один луч; каждый n² + n + c даёт собственную кривую теорема о распределении простых чисел: π(N) ~ N/ln N ~ li(N); плотность простых около N равна 1/ln N; Харди–Литтлвуд: плотность простых среди значений квадратного трёхчлена - константа, умноженная на 1/ln N, причём константа зависит от многочлена - гипотеза, не доказано
