Math
Spirale liczb pierwszych
Liczby ułożone na kwadratowej spirali, pierwsze podświetlone: pojawiają się przekątne, których nie powinno być, cztery razy gęstsze niż kwadrat, a z 41 w środku Eulerowski n² + n + 41 zbiega jedną z nich; spirala Sacksa i π(N) wobec N/ln N w miarę wzrostu spirali.
Co się dzieje
Napisz 1 pośrodku, 2 po jej prawej i idź dalej po kwadratowej spirali - w górę, w lewo, w dół, w prawo, ramiona rosną o jeden co dwa zakręty - i podświetl każdą liczbę pierwszą. Stanisław Ulam zrobił to na papierze podczas nudnego wykładu w 1963 roku, a przekątne pojawiły się same. Tu spirala rośnie na twoich oczach, świecąca głowa biegnie ścieżką, pierwsze zostają zapalone, a złożone gasną w ciemności kwadratu. Zaznacz przekątne, a pięć najbogatszych zostanie narysowanych z ich liczbami: na kwadracie 201 × 201 pierwsze to 10.5 % liczb, ale na przekątnej x + y = 58 jest ich 68 ze 143 komórek, 4.5 razy gęściej - a 323 z 646 długich przekątnych nie zawiera ani jednej pierwszej, bo komórki przekątnej dzielą parzystość swojej liczby i co druga przekątna niesie tylko parzyste. Przekątna to wielomian kwadratowy od kroku, a jedne wielomiany kwadratowe są bogate w pierwsze, inne jałowe: wstaw 41 do środka, a Eulerowski n² + n + 41 zbiegnie przekątną x = y, pierwszy dla każdego n od 0 do 39 i dla 581 z pierwszego tysiąca. Podświetl bliźniacze pierwsze albo wielomian i zmień liczbę początkową. Spirala Sacksa, r = √n i θ = 2π√n, ustawia kwadraty w jednym promieniu i daje każdemu wielomianowi kwadratowemu własną krzywą, więc ta sama struktura czyta się krzywymi zamiast prostymi. Wykres trzyma π(N) wobec N/ln N w miarę wzrostu spirali: iloraz dryfuje ku 1 z góry, twierdzenie o liczbach pierwszych, zmierzone tu do miliona.
Równania modułu
Równania sito Eratostenesa do 10^6; π(N) = 25, 168, 1229, 9592, 78498 dla N = 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶; N/ln N = 21.7, 144.8, 1085.7, 8685.9, 72382; li(N) = 30.1, 177.6, 1246.1, 9630.4, 78628; π(N) / (N/ln N) → 1 od góry (1.15, 1.16, 1.13, 1.10, 1.08) Ulam: 1 w początku układu, 2 w (1, 0), potem w górę, w lewo, w dół, w prawo z ramionami 1, 1, 2, 2, 3, 3 …; nieparzyste kwadraty (2m + 1)² leżą w (m, −m); 9 → (1, −1), 25 → (2, −2), 100 → (−4, 5), 1000 → (9, 16) przekątne: x − y = c lub x + y = c; wzdłuż jednej liczba jest wielomianem drugiego stopnia względem kroku; komórki przekątnej mają tę samą parzystość swojej liczby, więc co druga przekątna zawiera tylko liczby parzyste; 201 × 201 (40401 liczb, 4236 liczb pierwszych, gęstość 0.1048): najbogatsza x + y = 58 z 68/143 (4.54 ×), x + y = 18 z 80/183, x − y = ±40 z 70/161; 323 z 646 długich przekątnych nie zawiera żadnej liczby pierwszej; najuboższa nieparzysta, x + y = 1, zawiera 1 na 200 Euler: n² + n + 41 jest pierwsze dla n = 0 … 39 (n = 40 daje 41²) oraz dla 581 z n = 0 … 999; na spirali zaczynającej się od 41 jego wartości leżą w (k, k): na przekątnej x = y; na spirali zaczynającej się od 1 są rozproszone spirala Sacksa: r = √n, θ = 2π√n; kwadraty k² mają θ = 2πk - jeden promień; każde n² + n + c jest osobną krzywą twierdzenie o liczbach pierwszych: π(N) ~ N/ln N ~ li(N); gęstość liczb pierwszych w pobliżu N wynosi 1/ln N; Hardy'ego–Littlewooda: gęstość liczb pierwszych wśród wartości wielomianu kwadratowego jest stałą razy 1/ln N, przy czym stała zależy od wielomianu - przypuszczenie, nieudowodnione
