Math
Spirali dei primi
I numeri posati su una spirale quadrata, i primi accesi: compaiono diagonali che non dovrebbero esserci, quattro volte più dense del quadrato, e con 41 al centro l'n² + n + 41 di Eulero scende lungo una di esse; la spirale di Sacks, e π(N) contro N/ln N mentre la spirale cresce.
Cosa succede
Scrivi 1 al centro, 2 alla sua destra, e continua girando in una spirale quadrata - su, sinistra, giù, destra, i bracci che si allungano di uno ogni due giri - e accendi ogni primo. Stanisław Ulam lo fece su carta durante una conferenza noiosa nel 1963, e le diagonali comparvero da sole. Qui la spirale cresce davanti a te, una testa luminosa percorre il cammino, i primi restano accesi mentre i composti si spengono nel buio del quadrato. Spunta le diagonali e le cinque più ricche vengono tracciate con i loro conteggi: su un quadrato 201 × 201 i primi sono il 10.5 % dei numeri, ma sulla diagonale x + y = 58 sono 68 su 143 celle, 4.5 volte più densi - e 323 delle 646 diagonali lunghe non contengono nemmeno un primo, perché le celle di una diagonale condividono la parità del loro numero e una diagonale su due porta solo pari. Una diagonale è un polinomio di secondo grado nel passo, e alcuni quadratici sono ricchi di primi e altri sterili: metti 41 al centro e l'n² + n + 41 di Eulero scende lungo la diagonale x = y, primo per ogni n da 0 a 39 e per 581 dei primi mille. Accendi i primi gemelli, o il polinomio, e cambia il numero di partenza. La spirale di Sacks, r = √n e θ = 2π√n, allinea i quadrati perfetti su un raggio e dà a ogni quadratico la sua curva, così la stessa struttura si legge in curve invece che in rette. Il grafico tiene π(N) contro N/ln N mentre la spirale cresce: il rapporto scivola verso 1 dall'alto, il teorema dei numeri primi, misurato qui fino a un milione.
Equazioni del modulo
Equazioni crivello: Eratostene fino a 10^6; π(N) = 25, 168, 1229, 9592, 78498 per N = 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶; N/ln N = 21.7, 144.8, 1085.7, 8685.9, 72382; li(N) = 30.1, 177.6, 1246.1, 9630.4, 78628; π(N) / (N/ln N) → 1 dall'alto (1.15, 1.16, 1.13, 1.10, 1.08) Ulam: 1 nell'origine, 2 in (1, 0), poi su, a sinistra, giù, a destra con bracci 1, 1, 2, 2, 3, 3 …; i quadrati dispari (2m + 1)² stanno in (m, −m); 9 → (1, −1), 25 → (2, −2), 100 → (−4, 5), 1000 → (9, 16) diagonali: x − y = c oppure x + y = c; lungo una di esse il numero è un polinomio di secondo grado nel passo; le celle di una diagonale hanno la stessa parità del loro numero, quindi una diagonale su due contiene solo numeri pari; 201 × 201 (40401 numeri, 4236 primi, densità 0.1048): la più ricca x + y = 58 con 68/143 (4.54 ×), x + y = 18 con 80/183, x − y = ±40 con 70/161; 323 delle 646 diagonali lunghe non contengono alcun primo; la più povera tra le dispari, x + y = 1, ne contiene 1 su 200 Eulero: n² + n + 41 è primo per n = 0 … 39 (n = 40 dà 41²) e per 581 valori di n = 0 … 999; sulla spirale che parte da 41 i suoi valori stanno in (k, k): la diagonale x = y; sulla spirale che parte da 1 si disperdono Sacks: r = √n, θ = 2π√n; i quadrati k² hanno θ = 2πk - un solo raggio; ogni n² + n + c è una curva a sé teorema dei numeri primi: π(N) ~ N/ln N ~ li(N); la densità dei primi vicino a N è 1/ln N; Hardy–Littlewood: la densità dei primi tra i valori di un polinomio di secondo grado è una costante per 1/ln N, con la costante che dipende dal polinomio - congetturato, non dimostrato
