Math
Primzahlspiralen
Die Zahlen auf eine quadratische Spirale gelegt, die Primzahlen beleuchtet: Diagonalen erscheinen, die nicht da sein dürften, viermal so dicht wie das Quadrat, und mit 41 in der Mitte läuft Eulers n² + n + 41 eine davon hinab; die Sacks-Spirale, und π(N) gegen N/ln N, während die Spirale wächst.
Was passiert
Schreib die 1 in die Mitte, die 2 rechts daneben und geh in einer quadratischen Spirale weiter - hoch, links, runter, rechts, die Arme alle zwei Wendungen um eins länger - und beleuchte jede Primzahl. Stanisław Ulam tat das 1963 während eines langweiligen Vortrags auf Papier, und die Diagonalen erschienen von selbst. Hier wächst die Spirale vor deinen Augen, ein leuchtender Kopf läuft den Weg, Primzahlen bleiben hell, während Zusammengesetzte ins Dunkel des Quadrats verblassen. Schalte die Diagonalen ein, und die fünf reichsten werden mit ihren Zählungen gezeichnet: auf einem 201 × 201-Quadrat sind 10.5 % der Zahlen prim, auf der Diagonale x + y = 58 aber 68 von 143 Zellen, 4.5-mal so dicht - und 323 der 646 langen Diagonalen enthalten keine einzige Primzahl, weil die Zellen einer Diagonale die Parität ihrer Zahl teilen und jede zweite Diagonale nur gerade Zahlen trägt. Eine Diagonale ist ein quadratisches Polynom im Schritt, und manche Quadratpolynome sind reich an Primzahlen, andere leer: setz die 41 in die Mitte, und Eulers n² + n + 41 läuft die Diagonale x = y hinab, prim für jedes n von 0 bis 39 und für 581 der ersten tausend. Beleuchte die Primzahlzwillinge oder das Polynom und ändere die Startzahl. Die Sacks-Spirale, r = √n und θ = 2π√n, reiht die Quadratzahlen auf einem Strahl auf und gibt jedem Quadratpolynom seine eigene Kurve, sodass dieselbe Struktur als Kurven statt Linien zu lesen ist. Das Diagramm hält π(N) gegen N/ln N fest, während die Spirale wächst: das Verhältnis driftet von oben gegen 1, der Primzahlsatz, hier bis zu einer Million gemessen.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen Sieb: Eratosthenes bis 10^6; π(N) = 25, 168, 1229, 9592, 78498 bei N = 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶; N/ln N = 21.7, 144.8, 1085.7, 8685.9, 72382; li(N) = 30.1, 177.6, 1246.1, 9630.4, 78628; π(N) / (N/ln N) → 1 von oben (1.15, 1.16, 1.13, 1.10, 1.08) Ulam: 1 im Ursprung, 2 bei (1, 0), dann nach oben, links, unten, rechts mit Armlängen 1, 1, 2, 2, 3, 3 …; die ungeraden Quadrate (2m + 1)² liegen bei (m, −m); 9 → (1, −1), 25 → (2, −2), 100 → (−4, 5), 1000 → (9, 16) Diagonalen: x − y = c oder x + y = c; entlang einer ist die Zahl ein quadratisches Polynom im Schritt; die Zellen einer Diagonale haben dieselbe Parität ihrer Zahl, also enthält jede zweite Diagonale nur gerade Zahlen; 201 × 201 (40401 Zahlen, 4236 Primzahlen, Dichte 0.1048): am reichsten x + y = 58 mit 68/143 (4.54 ×), x + y = 18 mit 80/183, x − y = ±40 mit 70/161; 323 von 646 langen Diagonalen enthalten keine Primzahl; die ärmste ungerade, x + y = 1, enthält 1 Primzahl auf 200 Zellen Euler: n² + n + 41 ist prim für n = 0 … 39 (n = 40 ergibt 41²) und für 581 von n = 0 … 999; auf der Spirale, die bei 41 beginnt, liegen die Werte bei (k, k): auf der Diagonale x = y; auf der Spirale, die bei 1 beginnt, streuen sie Sacks: r = √n, θ = 2π√n; die Quadrate k² haben θ = 2πk - einen Strahl; jedes n² + n + c ist eine eigene Kurve Primzahlsatz: π(N) ~ N/ln N ~ li(N); die Dichte der Primzahlen in der Nähe von N ist 1/ln N; Hardy–Littlewood: die Dichte der Primzahlen unter den Werten eines quadratischen Polynoms ist eine Konstante mal 1/ln N, wobei die Konstante vom Polynom abhängt - vermutet, nicht bewiesen
