Math
Спіралі простих
Числа, викладені на квадратну спіраль, прості підсвічені: з'являються діагоналі, яких не має бути, вчетверо щільніші за квадрат, а з 41 у центрі многочлен Ейлера n² + n + 41 збігає однією з них; спіраль Сакса і π(N) проти N/ln N у міру росту спіралі.
Що відбувається
Напиши 1 посередині, 2 праворуч від неї і йди далі квадратною спіраллю — вгору, ліворуч, униз, праворуч, плечі ростуть на одиницю кожні два повороти, — і підсвіти кожне просте. Станіслав Улам зробив це на папері під час нудної доповіді 1963 року, і діагоналі з'явилися самі. Тут спіраль росте на твоїх очах: світна голова біжить шляхом, прості лишаються горіти, складені гаснуть у темряву квадрата. Увімкни діагоналі — і п'ять найбагатших намалюються з лічбою: на квадраті 201 × 201 простих 10.5 % чисел, а на діагоналі x + y = 58 їх 68 із 143 клітинок, у 4.5 раза щільніше, — і 323 з 646 довгих діагоналей не містять жодного простого, бо клітинки діагоналі ділять парність свого числа і кожна друга діагональ тримає лише парні. Діагональ — квадратний многочлен від кроку, і одні квадратні многочлени багаті на прості, а інші порожні: постав 41 у центр, і многочлен Ейлера n² + n + 41 збіжить діагоналлю x = y, простий при кожному n від 0 до 39 і при 581 з першої тисячі. Підсвіти близнюків або многочлен, зміни число в центрі. Спіраль Сакса, r = √n і θ = 2π√n, вишиковує повні квадрати на одному промені й дає кожному квадратному многочлену свою криву, тож та сама структура читається кривими, а не прямими. Графік тримає π(N) проти N/ln N у міру росту спіралі: відношення сповзає до 1 згори — теорема про розподіл простих, виміряна тут до мільйона.
Рівняння модуля
Рівняння решето: Ератосфена до 10^6; π(N) = 25, 168, 1229, 9592, 78498 при N = 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶; N/ln N = 21.7, 144.8, 1085.7, 8685.9, 72382; li(N) = 30.1, 177.6, 1246.1, 9630.4, 78628; π(N) / (N/ln N) → 1 зверху (1.15, 1.16, 1.13, 1.10, 1.08) Улам: 1 у початку координат, 2 в (1, 0), далі вгору, ліворуч, вниз, праворуч з ланками 1, 1, 2, 2, 3, 3 …; непарні квадрати (2m + 1)² стоять у (m, −m); 9 → (1, −1), 25 → (2, −2), 100 → (−4, 5), 1000 → (9, 16) діагоналі: x − y = c або x + y = c; уздовж кожної число є квадратичною функцією кроку; клітинки діагоналі мають однакову парність числа, тому кожна друга діагональ містить лише парні числа; 201 × 201 (40401 чисел, 4236 простих, щільність 0.1048): найбагатша x + y = 58 із 68/143 (4.54 ×), x + y = 18 із 80/183, x − y = ±40 із 70/161; 323 із 646 довгих діагоналей не містять жодного простого; найбідніша непарна, x + y = 1, містить 1 просте із 200 чисел Ейлер: n² + n + 41 просте при n = 0 … 39 (n = 40 дає 41²) і для 581 значень із n = 0 … 999; на спіралі, що починається з 41, його значення лежать у (k, k): на діагоналі x = y; на спіралі, що починається з 1, вони розсіяні Закс: r = √n, θ = 2π√n; квадрати k² мають θ = 2πk - один промінь; кожна n² + n + c є окремою кривою теорема про розподіл простих чисел: π(N) ~ N/ln N ~ li(N); густина простих біля N дорівнює 1/ln N; Гарді–Літлвуд: густина простих серед значень квадратного многочлена дорівнює сталій, помноженій на 1/ln N, причому стала залежить від многочлена - це гіпотеза, не доведена
