Math
Conjecture de Collatz
Moitié si pair, triple plus un si impair : tout départ tombe à un, et personne ne sait pourquoi - le vol d'un nombre, le paysage des temps d'arrêt jusqu'à 4096, et la même règle avec 3n − 1 et 5n + 1, qui bouclent et s'échappent.
Ce qui se passe
Une règle : divise le nombre par deux s'il est pair, triple-le et ajoute un s'il est impair, et recommence. Tout départ jamais essayé tombe à un - 27 grimpe à 9232 au pas 77 et atterrit au pas 111 - et personne n'a prouvé que tous le font. La scène du vol trace le chemin d'un nombre pas à pas en échelle logarithmique, une tête lumineuse qui monte aux pas impairs (orange) et descend aux moitiés (or), avec ses deux voisins en fantômes : 26 atterrit en dix pas, 28 en dix-huit, 27 en cent onze. La scène du paysage étale le temps d'arrêt total de chaque nombre jusqu'à 4096 en un terrain de barres lumineuses : les détenteurs de records - chacun demande plus de pas que tout départ plus petit - s'allument en rouge, le dernier étant 3711 avec 237 pas ; clique une barre pour la lire. La moyenne est 75, le temps d'arrêt le plus fréquent 43, et l'ajustement contre ln n a une pente de 11 et une ordonnée négative, au-dessus de l'heuristique asymptotique 2/ln(4/3) = 6.95 : en moyenne un pas impair multiplie par 3/2 et une moitié suit forcément, donc chaque paire coûte un facteur 3/4 - la dérive est vers le bas, et c'est toute la raison pour laquelle on croit la conjecture, et rien de la preuve. La scène des règles change la constante : soixante vols chacune, colorés par leur sort. 3n + 1 renvoie chez eux les mille premiers départs. 3n − 1 a deux cycles de plus, par 5 et par 17, et 651 des mille premiers finissent dans l'un d'eux. 5n + 1 a une dérive 5/4 vers le haut : 833 des mille premiers filent au-delà de 2^60, hors du haut du graphique, et 7 à lui seul y met 719 pas.
Équations du module
Équations règle : n → n/2 (n pair), n → 3n + 1 (n impair) ; temps d'arrêt total = nombre de pas pour atteindre 1 ; 27 : 111 pas, pic 9232 au pas 77, 41 pas impairs et 70 divisions par deux ; 26 : 10 pas, 28 : 18, 97 : 118 (pic 9232 de nouveau), 871 : 178 (pic 190996) dérive : un pas impair donne 3n + 1 ≈ 3n/2 après la division par deux qui doit suivre, donc une paire impair puis pair coûte en moyenne un facteur 3/4, et un vol comportant k pas impairs demande plus de k·log₂3 = 1.585 k divisions par deux pour redescendre ; 3^41 / 2^70 = 0.031 < 1/27, comme il le faut pour atterrir sur 1 paysage jusqu'à 4096 : détenteurs de record (chacun demande plus de pas que tout départ plus petit) : 1, 2, 3, 6, 7, 9, 18, 25, 27, 54, 73, 97, 129, 171, 231, 313, 327, 649, 703, 871, 1161, 2223, 2463, 2919, 3711 (237 pas) ; moyenne 75.13 ; temps d'arrêt le plus fréquent 43 (87 départs) ; moindres carrés : temps d'arrêt ≈ 11.12 ln n − 6.22 sur 2 … 4096 ; pente heuristique (asymptotique) 2/ln(4/3) = 6.95 3n − 1 : les mille premiers départs : 349 atterrissent sur 1, 651 dans un cycle - passant par 5 (5 → 14 → 7 → 20 → 10 → 5, 306 départs) ou par 17 (18 membres, 345 départs) ; pic le plus haut d'un atterrissage 132860 5n + 1 : dérive 5/4 > 1 ; les mille premiers départs : 81 atterrissent sur 1, 86 dans un cycle - passant par 13 (63) ou 17 (23) - et 833 dépassent 2^60 ; 7 à lui seul demande 719 pas pour dépasser 2^60 ; pic le plus haut d'un atterrissage 1170496
