Math
Collatz-Vermutung
Halbieren, wenn gerade, verdreifachen und eins addieren, wenn ungerade: jeder Start fällt auf eins, und niemand weiß warum - der Flug einer Zahl, die Landschaft der Stoppzeiten bis 4096 und dieselbe Regel mit 3n − 1 und 5n + 1, die kreisen und entkommen.
Was passiert
Eine Regel: halbiere die Zahl, wenn sie gerade ist, verdreifache sie und addiere eins, wenn sie ungerade ist, und wiederhole. Jeder Start, den je jemand versucht hat, fällt auf eins - 27 steigt bis Schritt 77 auf 9232 und landet bei Schritt 111 - und niemand hat bewiesen, dass jeder Start es tut. Die Flugszene zeichnet den Weg einer Zahl Schritt für Schritt auf logarithmischer Skala, ein leuchtender Kopf, der bei ungeraden Schritten steigt (orange) und bei Halbierungen fällt (gold), mit den beiden Nachbarn als Geistern: 26 landet in zehn Schritten, 28 in achtzehn, 27 in hundertelf. Die Landschaftsszene breitet die gesamte Stoppzeit jeder Zahl bis 4096 als Gelände leuchtender Balken aus: die Rekordhalter - jeder braucht mehr Schritte als jeder kleinere Start - leuchten rot, der letzte ist 3711 mit 237 Schritten; klick auf einen Balken, um ihn zu lesen. Der Mittelwert ist 75, die häufigste Stoppzeit 43, und die Anpassung gegen ln n läuft mit 11 und negativem Achsenabschnitt, über der asymptotischen Heuristik 2/ln(4/3) = 6.95: im Mittel multipliziert ein ungerader Schritt mit 3/2, und eine Halbierung folgt zwangsläufig, ein Paar kostet also den Faktor 3/4 - die Drift geht abwärts, und das ist der ganze Grund, warum man die Vermutung glaubt, und kein Stück des Beweises. Die Regelszene ändert die Konstante: je sechzig Flüge, nach ihrem Schicksal gefärbt. 3n + 1 schickt alle ersten tausend Starts heim. 3n − 1 hat zwei zusätzliche Zyklen, durch 5 und durch 17, und 651 der ersten tausend enden in einem davon. 5n + 1 hat Drift 5/4 aufwärts: 833 der ersten tausend schießen über 2^60 hinaus, oben aus dem Diagramm, und allein die 7 braucht 719 Schritte dafür.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen Regel: n → n/2 (n gerade), n → 3n + 1 (n ungerade); Gesamtstoppzeit = Schritte bis 1; 27: 111 Schritte, Spitze 9232 bei Schritt 77, 41 ungerade Schritte und 70 Halbierungen; 26: 10 Schritte, 28: 18, 97: 118 (Spitze wieder 9232), 871: 178 (Spitze 190996) Drift: ein ungerader Schritt ergibt 3n + 1 ≈ 3n/2 nach der Halbierung, die folgen muss, daher kostet ein Paar aus ungerade-dann-gerade im Mittel den Faktor 3/4, und ein Flug mit k ungeraden Schritten braucht mehr als k·log₂3 = 1.585 k Halbierungen, um herunterzukommen; 3^41 / 2^70 = 0.031 < 1/27, wie es sein muss, um bei 1 zu landen Landschaft bis 4096: Rekordhalter (jeder braucht mehr Schritte als jeder kleinere Startwert): 1, 2, 3, 6, 7, 9, 18, 25, 27, 54, 73, 97, 129, 171, 231, 313, 327, 649, 703, 871, 1161, 2223, 2463, 2919, 3711 (237 Schritte); Mittelwert 75.13; häufigste Stoppzeit 43 (87 Startwerte); Methode der kleinsten Quadrate: Stoppzeit ≈ 11.12 ln n − 6.22 über 2 … 4096; heuristische (asymptotische) Steigung 2/ln(4/3) = 6.95 3n − 1: die ersten tausend Startwerte: 349 landen bei 1, 651 in einem Zyklus - durch 5 (5 → 14 → 7 → 20 → 10 → 5, 306 Starts) oder durch 17 (18 Mitglieder, 345 Starts); höchste Spitze einer Landung 132860 5n + 1: Drift 5/4 > 1; die ersten tausend Startwerte: 81 landen bei 1, 86 in einem Zyklus - durch 13 (63) oder 17 (23) - und 833 überschreiten 2^60; allein 7 braucht 719 Schritte, um 2^60 zu überschreiten; höchste Spitze einer Landung 1170496
