Math
Monte Carlo
Freccette a caso stimano π, duecento lanciatori mostrano la dispersione prevista da 1/√N e la banda del 95 %, e un integrale è preso in tre modi - il campionatore che pende come la curva vince venti volte.
Cosa succede
Le freccette cadono a caso in un quadrato con un quarto di cerchio disegnato: dorate se cadono nel cerchio, blu se lo mancano. La frazione dentro è π/4, quindi quattro volte la frazione stima π, e si legge dal vivo. Nel cubo la figura è una sfera e il fattore è sei; il cubo è il lanciatore peggiore, perché π/6 è lontano da un mezzo e il fattore è più grande. La stima è una media binomiale, quindi il suo errore è esattamente s/√N con s = 4√(p(1 − p)) = 1.642 nel quadrato: quattro volte le freccette dimezzano l'errore, cento volte comprano una cifra. Altri duecento lanciatori con dadi diversi lanciano invisibilmente lo stesso numero di freccette; le loro stime si ammucchiano nell'istogramma sotto la campana prevista, e il pannello conta quante stanno in π ± 2s/√N - circa 190 su 200, la banda del 95 %, misurata e non asserita. Il grafico traccia la stima dal vivo contro log N fra le due linee della banda, che si stringono come 1/√N. La terza scena prende un integrale, l'area sotto 4/(1 + x²) da 0 a 1, anch'essa π, in tre modi dallo stesso dado. Colpito-o-mancato lancia freccette sotto la curva, s = 1.642. Il valor medio valuta la curva in x uniformi e fa la media, s = √(4 + 2π − π²) = 0.643. Il campionamento per importanza estrae x dalla densità q(x) = (4 − 2x)/3 (tratteggiata), che pende come la curva, e media il rapporto curva/q: s = 0.080. Tre istogrammi di duecento repliche ciascuno mostrano le tre larghezze - stesso N, venti volte meno errore per il campionatore che sa dove la curva è pesante.
Equazioni del modulo
Equazioni freccette: P(dentro il quarto di cerchio) = π/4; π_est = 4 n_in/N; Var(π_est) = 16 p(1 − p)/N, s = 4√(p(1 − p)) = 1.642; nel cubo p = π/6, π_est = 6 n_in/N, s = 6√(p(1 − p)) = 2.997; errore standard s/√N: 0.0164 per N = 10 000 nel quadrato legge: 200 repliche con dadi diversi, semi 100 … 299: dispersione 0.0707 / 0.0358 / 0.0191 per N = 500 / 2000 / 8000 nel quadrato contro il valore previsto 0.0734 / 0.0367 / 0.0184; 191 / 195 / 192 su 200 dentro π ± 2s/√N; con sedici volte più freccette, la dispersione cala di 3.7 ≈ 4 integrale: I = ∫₀¹ 4/(1 + x²) dx = π; colpito o mancato: freccette lanciate su [0, 1] × [0, 4], 4·colpi/N, s = 1.642; valore medio: (1/N) Σ g(x_i), x_i uniformi, s = √(E g² − π²) = √(4 + 2π − π²) = 0.643; importanza: x_i ~ q(x) = (4 − 2x)/3, (1/N) Σ g(x_i)/q(x_i), s = √(∫ g²/q − π²) = 0.0800; campionamento di q per inversione: x = 2 − √(4 − 3u) seme 1, N = 10 000: 7865 freccette dentro il quarto di cerchio (π ≈ 3.1460), 5203 dentro la sfera (3.1218); l'integrale: 3.1760 / 3.1395 / 3.1408; 100 repliche con N = 1000 (semi 300 …): dispersioni 0.0536 / 0.0204 / 0.0024 dado: lo xorshift condiviso; per ogni campione i flussi sono (u, v) per colpito o mancato, x per il valor medio, w per l'importanza, in quest'ordine
