Math
Monte Carlo
Zufällige Pfeile schätzen π, zweihundert Werfer zeigen die von 1/√N vorhergesagte Streuung und das 95-%-Band, und ein Integral wird auf drei Arten genommen - der Sampler, der sich wie die Kurve neigt, gewinnt zwanzigfach.
Was passiert
Pfeile landen zufällig in einem Quadrat mit eingezeichnetem Viertelkreis: gold, wenn sie in den Kreis fallen, blau, wenn sie danebengehen. Der Anteil innen ist π/4, also ist das Vierfache des Anteils eine Schätzung von π, und sie wird live abgelesen. Im Würfel ist die Figur eine Kugel und der Faktor sechs; der Würfel ist der schlechtere Werfer, weil π/6 weit von einer Hälfte liegt und der Faktor größer ist. Die Schätzung ist ein Binomialmittel, ihr Fehler also genau s/√N mit s = 4√(p(1 − p)) = 1.642 im Quadrat: viermal so viele Pfeile halbieren den Fehler, hundertmal so viele kaufen eine Stelle mehr. Zweihundert andere Werfer mit anderen Würfeln werfen unsichtbar dieselbe Zahl Pfeile; ihre Schätzungen häufen sich im Histogramm unter der vorhergesagten Glocke, und die Tafel zählt, wie viele in π ± 2s/√N sitzen - etwa 190 von 200, das 95-%-Band, gemessen statt behauptet. Das Diagramm zieht die Live-Schätzung gegen log N zwischen den beiden Bandlinien, die sich wie 1/√N schließen. Die dritte Szene nimmt ein Integral, die Fläche unter 4/(1 + x²) von 0 bis 1, ebenfalls π, auf drei Arten aus demselben Würfel. Treffer-oder-Fehlwurf wirft Pfeile unter die Kurve, s = 1.642. Der Mittelwert wertet die Kurve an gleichverteilten x aus und mittelt, s = √(4 + 2π − π²) = 0.643. Importance Sampling zieht x aus der Dichte q(x) = (4 − 2x)/3 (gestrichelt), die sich wie die Kurve neigt, und mittelt das Verhältnis Kurve/q: s = 0.080. Drei Histogramme mit je zweihundert Wiederholungen zeigen die drei Breiten - gleiches N, zwanzigmal weniger Fehler für den Sampler, der weiß, wo die Kurve schwer ist.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen Pfeile: P(im Viertelkreis) = π/4; π_est = 4 n_in/N; Var(π_est) = 16 p(1 − p)/N, s = 4√(p(1 − p)) = 1.642; im Würfel p = π/6, π_est = 6 n_in/N, s = 6√(p(1 − p)) = 2.997; Standardfehler s/√N: 0.0164 für N = 10 000 im Quadrat Gesetz: 200 Wiederholungen mit verschiedenen Würfeln, Seeds 100 … 299: Streuung 0.0707 / 0.0358 / 0.0191 bei N = 500 / 2000 / 8000 im Quadrat gegenüber den vorhergesagten 0.0734 / 0.0367 / 0.0184; 191 / 195 / 192 von 200 innerhalb π ± 2s/√N; bei sechzehnmal so vielen Pfeilen sinkt die Streuung um 3.7 ≈ 4 Integral: I = ∫₀¹ 4/(1 + x²) dx = π; Treffer oder Fehlwurf: Pfeile in [0, 1] × [0, 4], 4·Treffer/N, s = 1.642; Mittelwert: (1/N) Σ g(x_i), x_i gleichverteilt, s = √(E g² − π²) = √(4 + 2π − π²) = 0.643; Wichtigkeitsstichprobe: x_i ~ q(x) = (4 − 2x)/3, (1/N) Σ g(x_i)/q(x_i), s = √(∫ g²/q − π²) = 0.0800; Stichprobe aus q per Inversion: x = 2 − √(4 − 3u) Seed 1, N = 10 000: 7865 Pfeile im Viertelkreis (π ≈ 3.1460), 5203 in der Kugel (3.1218); das Integral: 3.1760 / 3.1395 / 3.1408; 100 Wiederholungen mit N = 1000 (Seeds 300 …): Streuungen 0.0536 / 0.0204 / 0.0024 Würfel: das gemeinsame xorshift; pro Stichprobe sind die Folgen (u, v) für Treffer-Niete, x für die Mittelwertmethode, w für die Wichtigkeitsstichprobe, in dieser Reihenfolge
