Math
Monte Carlo
Losowe rzutki szacują π, dwustu rzucających pokazuje rozrzut przewidziany przez 1/√N i pasmo 95 %, a jedną całkę bierze się na trzy sposoby - próbkowanie nachylone jak krzywa wygrywa dwudziestokrotnie.
Co się dzieje
Rzutki spadają losowo w kwadrat z narysowaną ćwiartką koła: złote, gdy trafią do koła, niebieskie, gdy chybią. Ułamek wewnątrz to π/4, więc cztery razy ten ułamek to oszacowanie π, odczytywane na żywo. W sześcianie figurą jest kula, a mnożnik to sześć; sześcian jest gorszym rzucającym, bo π/6 leży daleko od połowy, a mnożnik jest większy. Oszacowanie to średnia dwumianowa, więc jego błąd wynosi dokładnie s/√N przy s = 4√(p(1 − p)) = 1.642 w kwadracie: cztery razy więcej rzutek zmniejsza błąd o połowę, sto razy więcej kupuje jedną cyfrę. Dwustu innych rzucających z innymi kostkami rzuca niewidocznie tyle samo rzutek; ich oszacowania układają się w histogram pod przewidzianym dzwonem, a panel liczy, ile z nich mieści się w π ± 2s/√N - około 190 z 200, pasmo 95 %, zmierzone, a nie stwierdzone. Wykres prowadzi oszacowanie na żywo wobec log N między dwiema liniami pasma, które zbiegają się jak 1/√N. Trzecia scena bierze jedną całkę, pole pod 4/(1 + x²) od 0 do 1, też π, na trzy sposoby z tej samej kostki. Trafiony-chybiony rzuca rzutki pod krzywą, s = 1.642. Wartość średnia oblicza krzywą w jednostajnych x i uśrednia, s = √(4 + 2π − π²) = 0.643. Próbkowanie ważone losuje x z gęstości q(x) = (4 − 2x)/3 (przerywana), nachylonej jak krzywa, i uśrednia iloraz krzywa/q: s = 0.080. Trzy histogramy po dwieście replik pokazują trzy szerokości - to samo N, dwadzieścia razy mniejszy błąd dla próbkowania, które wie, gdzie krzywa jest ciężka.
Równania modułu
Równania rzutki: P(wewnątrz ćwiartki koła) = π/4; π_est = 4 n_in/N; Var(π_est) = 16 p(1 − p)/N, s = 4√(p(1 − p)) = 1.642; w sześcianie p = π/6, π_est = 6 n_in/N, s = 6√(p(1 − p)) = 2.997; błąd standardowy s/√N: 0.0164 dla N = 10 000 w kwadracie prawo: 200 replik z różnymi kostkami, ziarna generatora 100 … 299: rozrzut 0.0707 / 0.0358 / 0.0191 przy N = 500 / 2000 / 8000 w kwadracie wobec przewidywanych 0.0734 / 0.0367 / 0.0184; 191 / 195 / 192 z 200 w przedziale π ± 2s/√N; szesnaście razy więcej rzutek zmniejsza rozrzut 3.7 ≈ 4 razy całka: I = ∫₀¹ 4/(1 + x²) dx = π; trafiony-nietrafiony: rzuty lotkami w prostokąt [0, 1] × [0, 4], 4·trafienia/N, s = 1.642; wartość średnia: (1/N) Σ g(x_i), x_i o rozkładzie jednostajnym, s = √(E g² − π²) = √(4 + 2π − π²) = 0.643; próbkowanie istotnościowe: x_i ~ q(x) = (4 − 2x)/3, (1/N) Σ g(x_i)/q(x_i), s = √(∫ g²/q − π²) = 0.0800; losowanie z rozkładu q metodą odwracania dystrybuanty: x = 2 − √(4 − 3u) ziarno 1, N = 10 000: 7865 rzutek wewnątrz ćwiartki koła (π ≈ 3.1460), 5203 wewnątrz kuli (3.1218); całka: 3.1760 / 3.1395 / 3.1408; 100 replik o N = 1000 (ziarna 300 …): rozrzuty 0.0536 / 0.0204 / 0.0024 kostka: wspólny generator xorshift; na jedną próbkę strumienie to (u, v) dla metody trafień i chybień, x dla wartości średniej, w dla losowania istotnościowego, w tej kolejności
