Math
Monte-Carlo
Des fléchettes au hasard estiment π, deux cents lanceurs montrent la dispersion prédite par 1/√N et la bande à 95 %, et une intégrale est prise de trois façons - l'échantillonneur qui penche comme la courbe gagne vingt fois.
Ce qui se passe
Des fléchettes tombent au hasard dans un carré où est tracé un quart de cercle : dorées si elles tombent dans le cercle, bleues si elles le manquent. La fraction à l'intérieur vaut π/4, donc quatre fois la fraction estime π, et cela se lit en direct. Dans le cube la figure est une sphère et le facteur vaut six ; le cube est le moins bon lanceur, car π/6 est loin d'un demi et le facteur est plus grand. L'estimation est une moyenne binomiale, son erreur est donc exactement s/√N avec s = 4√(p(1 − p)) = 1.642 dans le carré : quatre fois plus de fléchettes divisent l'erreur par deux, cent fois plus achètent un chiffre. Deux cents autres lanceurs aux dés différents lancent invisiblement le même nombre de fléchettes ; leurs estimations s'empilent dans l'histogramme sous la cloche prédite, et le panneau compte combien sont dans π ± 2s/√N - environ 190 sur 200, la bande à 95 %, mesurée et non affirmée. Le graphique trace l'estimation en direct contre log N entre les deux lignes de la bande, qui se resserrent comme 1/√N. La troisième scène prend une intégrale, l'aire sous 4/(1 + x²) de 0 à 1, qui vaut aussi π, de trois façons avec le même dé. Touché-ou-manqué lance des fléchettes sous la courbe, s = 1.642. La valeur moyenne évalue la courbe en des x uniformes et moyenne, s = √(4 + 2π − π²) = 0.643. L'échantillonnage préférentiel tire x de la densité q(x) = (4 − 2x)/3 (pointillée), qui penche comme la courbe, et moyenne le rapport courbe/q : s = 0.080. Trois histogrammes de deux cents répliques chacun montrent les trois largeurs - même N, vingt fois moins d'erreur pour l'échantillonneur qui sait où la courbe est lourde.
Équations du module
Équations fléchettes : P(à l'intérieur du quart de cercle) = π/4 ; π_est = 4 n_in/N ; Var(π_est) = 16 p(1 − p)/N, s = 4√(p(1 − p)) = 1.642 ; dans le cube p = π/6, π_est = 6 n_in/N, s = 6√(p(1 − p)) = 2.997 ; erreur standard s/√N : 0.0164 pour N = 10 000 dans le carré loi : 200 répliques avec des dés différents, graines 100 … 299 : dispersion 0.0707 / 0.0358 / 0.0191 pour N = 500 / 2000 / 8000 dans le carré contre 0.0734 / 0.0367 / 0.0184 prévu ; 191 / 195 / 192 sur 200 dans π ± 2s/√N ; avec seize fois plus de fléchettes, la dispersion est divisée par 3.7 ≈ 4 intégrale : I = ∫₀¹ 4/(1 + x²) dx = π ; touché ou raté : fléchettes dans [0, 1] × [0, 4], 4·touches/N, s = 1.642 ; valeur moyenne : (1/N) Σ g(x_i), x_i uniformes, s = √(E g² − π²) = √(4 + 2π − π²) = 0.643 ; échantillonnage préférentiel : x_i ~ q(x) = (4 − 2x)/3, (1/N) Σ g(x_i)/q(x_i), s = √(∫ g²/q − π²) = 0.0800 ; échantillonnage de q par inversion : x = 2 − √(4 − 3u) graine 1, N = 10 000 : 7865 fléchettes dans le quart de cercle (π ≈ 3.1460), 5203 dans la sphère (3.1218) ; l'intégrale : 3.1760 / 3.1395 / 3.1408 ; 100 répliques de N = 1000 (graines 300 …) : dispersions 0.0536 / 0.0204 / 0.0024 dé : le xorshift commun ; pour chaque échantillon, les tirages sont (u, v) pour le tout ou rien, x pour la valeur moyenne, w pour l'échantillonnage préférentiel, dans cet ordre
