Math
Монте-Карло
Випадкові дротики оцінюють π, двісті метальників показують розкид за законом 1/√N і смугу 95 %, а один інтеграл береться трьома способами — вибірка, нахилена як крива, виграє у двадцять разів.
Що відбувається
Дротики падають навмання у квадрат із вписаною чвертю кола: золоті, якщо всередині кола, сині, якщо повз. Частка всередині — π/4, тож учетверена частка — оцінка π, і вона читається наживо. У кубі фігура — куля, а множник шість; куб — гірший метальник, бо π/6 далеко від половини, а множник більший. Оцінка — біноміальне середнє, і її похибка рівно s/√N при s = 4√(p(1 − p)) = 1.642 у квадраті: учетверо більше дротиків — удвічі менша похибка, у сто разів більше — одна зайва цифра. Двісті інших метальників з іншими кубиками невидимо кидають стільки ж дротиків; їхні оцінки зсипаються в гістограму під передбачений дзвін, а панель рахує, скільки з них потрапило в π ± 2s/√N — близько 190 з 200, смуга 95 %, виміряна, а не оголошена. Графік веде живу оцінку проти log N між двома лініями смуги, що сходяться як 1/√N. Третя сцена бере один інтеграл — площу під 4/(1 + x²) від 0 до 1, теж π — трьома способами від одного кубика. Влучив-не-влучив кидає дротики під криву, s = 1.642. Середнє значення обчислює криву в рівномірних x і усереднює, s = √(4 + 2π − π²) = 0.643. Вибірка за значущістю тягне x із щільності q(x) = (4 − 2x)/3 (пунктир), нахиленої як крива, і усереднює відношення крива/q: s = 0.080. Три гістограми по двісті реплік показують три ширини — ті самі N, у двадцять разів менша похибка у вибірки, що знає, де крива важка.
Рівняння модуля
Рівняння дротики: P(всередині чверті кола) = π/4; π_est = 4 n_in/N; Var(π_est) = 16 p(1 − p)/N, s = 4√(p(1 − p)) = 1.642; у кубі p = π/6, π_est = 6 n_in/N, s = 6√(p(1 − p)) = 2.997; стандартна похибка s/√N: 0.0164 при N = 10 000 у квадраті закон: 200 реплік з різними кубиками, зерна 100 … 299: розкид 0.0707 / 0.0358 / 0.0191 при N = 500 / 2000 / 8000 у квадраті проти передбачених 0.0734 / 0.0367 / 0.0184; 191 / 195 / 192 із 200 у межах π ± 2s/√N; у шістнадцять разів більше дротиків - розкид зменшується в 3.7 ≈ 4 раза інтеграл: I = ∫₀¹ 4/(1 + x²) dx = π; влучання чи промах: дротики в [0, 1] × [0, 4], 4·влучань/N, s = 1.642; середнє значення: (1/N) Σ g(x_i), x_i рівномірно розподілені, s = √(E g² − π²) = √(4 + 2π − π²) = 0.643; вибірка за важливістю: x_i ~ q(x) = (4 − 2x)/3, (1/N) Σ g(x_i)/q(x_i), s = √(∫ g²/q − π²) = 0.0800; вибірка q методом інверсії: x = 2 − √(4 − 3u) зерно 1, N = 10 000: 7865 дротиків усередині чверті кола (π ≈ 3.1460), 5203 усередині кулі (3.1218); інтеграл: 3.1760 / 3.1395 / 3.1408; 100 реплік при N = 1000 (зерна 300 …): розкиди 0.0536 / 0.0204 / 0.0024 кубик: спільний xorshift; на кожну вибірку потоки такі: (u, v) для влучень і промахів, x для середнього значення, w для важливості, саме в такому порядку
