Math
Monte Carlo
Dardos al azar estiman π, doscientos lanzadores muestran la dispersión que predice 1/√N y la banda del 95 %, y una integral se toma de tres maneras - el muestreador que se inclina como la curva gana veinte veces.
Qué ocurre
Los dardos caen al azar en un cuadrado con un cuarto de círculo dibujado: dorados si caen dentro del círculo, azules si fallan. La fracción dentro es π/4, así que cuatro veces la fracción es una estimación de π, y se lee en vivo. En el cubo la figura es una esfera y el factor es seis; el cubo es el peor lanzador, porque π/6 está lejos de un medio y el factor es mayor. La estimación es una media binomial, así que su error es exactamente s/√N con s = 4√(p(1 − p)) = 1.642 en el cuadrado: cuatro veces más dardos reducen el error a la mitad, cien veces más compran un dígito. Otros doscientos lanzadores con dados distintos lanzan invisiblemente el mismo número de dardos; sus estimaciones se apilan en el histograma bajo la campana predicha, y el panel cuenta cuántas caen dentro de π ± 2s/√N - unas 190 de 200, la banda del 95 %, medida y no afirmada. La gráfica traza la estimación en vivo frente a log N entre las dos líneas de la banda, que se cierran como 1/√N. La tercera escena toma una integral, el área bajo 4/(1 + x²) de 0 a 1, que también es π, de tres maneras con el mismo dado. Acierto o fallo lanza dardos bajo la curva, s = 1.642. El valor medio evalúa la curva en x uniformes y promedia, s = √(4 + 2π − π²) = 0.643. El muestreo por importancia saca x de la densidad q(x) = (4 − 2x)/3 (discontinua), que se inclina como la curva, y promedia el cociente curva/q: s = 0.080. Tres histogramas de doscientas réplicas cada uno muestran las tres anchuras - mismo N, veinte veces menos error para el muestreador que sabe dónde pesa la curva.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones dardos: P(dentro del cuarto de círculo) = π/4; π_est = 4 n_in/N; Var(π_est) = 16 p(1 − p)/N, s = 4√(p(1 − p)) = 1.642; en el cubo p = π/6, π_est = 6 n_in/N, s = 6√(p(1 − p)) = 2.997; error estándar s/√N: 0.0164 para N = 10 000 en el cuadrado ley: 200 réplicas con dados distintos, semillas 100 … 299: dispersión 0.0707 / 0.0358 / 0.0191 con N = 500 / 2000 / 8000 en el cuadrado frente a 0.0734 / 0.0367 / 0.0184 previstos; 191 / 195 / 192 de 200 dentro de π ± 2s/√N; con dieciséis veces más dardos, la dispersión se reduce en un factor 3.7 ≈ 4 integral: I = ∫₀¹ 4/(1 + x²) dx = π; acierto o fallo: dardos en [0, 1] × [0, 4], 4·aciertos/N, s = 1.642; valor medio: (1/N) Σ g(x_i), x_i uniformes, s = √(E g² − π²) = √(4 + 2π − π²) = 0.643; importancia: x_i ~ q(x) = (4 − 2x)/3, (1/N) Σ g(x_i)/q(x_i), s = √(∫ g²/q − π²) = 0.0800; muestreo de q por inversión: x = 2 − √(4 − 3u) semilla 1, N = 10 000: 7865 dardos dentro del cuarto de círculo (π ≈ 3.1460), 5203 dentro de la esfera (3.1218); la integral: 3.1760 / 3.1395 / 3.1408; 100 réplicas de N = 1000 (semillas 300 …): dispersiones 0.0536 / 0.0204 / 0.0024 dado: el xorshift compartido; por muestra los flujos son (u, v) para acierto o fallo, x para el valor medio, w para la importancia, en ese orden
