Math

Problème isopérimétrique

Une corde de longueur fixe sur des pointes : ajoutez des côtés et regardez l'aire enfermée croître vers celle du disque, tandis qu'une règle montre que la corde garde la même longueur ; puis prédisez laquelle de deux formes faites de la même corde contient le plus, et vérifiez.

Par Mykhailo Makarov

Image réelle de l’application

Ce qui se passe

Une corde de longueur fixe L est tendue sur des pointes. Quelle forme enferme le plus ? Ajoutez les côtés un par un : la corde garde toujours la même longueur - la règle en dessous la déroule en ligne droite -, mais l'aire ombrée grandit et Q = 4πA/L² monte vers 1, le disque fait de la même corde. Puis prédisez : de deux formes faites d'une même corde, laquelle contient le plus ? Certaines paires sont des pièges. L'expérience compare des formes particulières ; ce n'est pas une preuve que le cercle bat toute courbe.

Équations du module

Équations
Q = 4πA / L² ≤ 1,  égalité seulement pour le cercle
n-gone régulier :  A(n) = L² / (4n·tan(π/n)),   Q(n) = π / (n·tan(π/n)) → 1
cercle formé de la même corde :  A = L² / (4π)
ici L = 2π, donc le cercle renferme A = π

Autres expériences

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Empilement de disques

Empilement de disques. η∞ = π/(2√3). Déplacez les points marqués ou changez les paramètres. Les changements manuels arrêtent l’animation.

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Dissection à aire constante

Glissez la pièce 2 vers sa cible à droite. Les deux pièces se déplacent dans la scène ou la vue de dessus. A₁ + A₂ = b·h, b = 2. Le chanfrein et la hauteur sont décoratifs. Recouvrement, cible non couverte et aire extérieure viennent des polygones exacts ; la seule somme des aires ne prouve pas la couverture.

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Enveloppes

Enveloppes. x = Lcos³φ; y = Lsin³φ. Déplacez les points marqués ou changez les paramètres. Les changements manuels arrêtent l’animation.