Math
Gioco del caos
Un dado e un salto verso un vertice a caso costruiscono un frattale che nessuno ha disegnato - il triangolo di Sierpinski, la felce, il drago, la spugna di Menger - lo stesso da qualunque partenza; trascina i vertici, cambia il salto, conta le scatole e misura la sua dimensione.
Cosa succede
Scegli un angolo a caso e sposta il punto di una frazione fissa verso di esso. La ripetizione di questa regola locale produce un frattale. Nel preset triangolo, un salto a mezza distanza genera l'attrattore Sierpinski dopo transienti iniziali.
Due punti guidati dalla stessa sequenza di angoli dimenticano la loro separazione iniziale: per i salti a mezza distanza la loro distanza dopo k passi è d_k = d_0·(1/2)^k, dove d_0 è la loro distanza iniziale. Questa contrazione esatta riguarda traiettorie accoppiate sotto la stessa regola, non due sequenze casuali indipendenti. Trascinare un angolo per riprodurre le scelte memorizzate con una nuova geometria.
Confronta i preset triangolo, tetraedro, quadrato vincolato, pentagono, felce, drago, Koch e Menger. Il conteggio delle caselle stima una dimensione dalla nuvola di punti finiti. La formula di somiglianza D = log(n)/log(1/c) si applica a n copie con una contrazione comune c in base alle appropriate ipotesi di separazione; Non è una formula di dimensione universale per le mappe affini sovrapposte o disuguali.
Equazioni del modulo
Equazioni gioco: x ← x + r·(v − x) = (1 − r)·x + r·v verso un vertice casuale v; salto r, contrazione c = 1 − r; forma generale x ← A_i·x + b_i con probabilità p_i (un sistema di funzioni iterate) partenza dimenticata: due punti x, y con lo stesso dado: |x_k − y_k| = c^k·|x_0 − y_0| esattamente per le similitudini - dopo 20 dimezzamenti 1.79·10^−6 dell'originale 1.88; la felce (che non è una similitudine) si contrae a 2.4·10^−5 di 5.26 in 40 salti buco: per r = 1/2 il quarto centrale del triangolo è esattamente vuoto (0 punti su 50 000 dopo il transitorio iniziale); per r = 0.45 le copie si riducono di 0.55, si sovrappongono e 10 435 punti su 50 000 cadono lì; per r = 0.55 il buco si allarga dimensione: scatole di lato 2^−k sul cubo circoscritto; N(k) ∝ 2^(k·D); D = pendenza di log2 N rispetto a k, adattata su k = 4 … 7 (piano) oppure 3 … 5 (spazio); Moran: n copie di rapporto c che non si sovrappongono hanno Σ c^D = 1, D = log n / log(1/c) preimpostazioni: triangolo log3/log2 = 1.585 (misurato 1.60 su 200 000 punti); tetraedro 2 (1.90); quadrato senza ripetizioni, tre scelte di 1/2: log3/log2 (1.586); pentagono con r = 1/φ, c = 1/φ²: log5/log φ² = 1.672 (1.64); felce - nessuna dimensione di similarità (1.81); drago, due mappe di 1/√2: 2 (1.80); Koch, quattro di 1/3: log4/log3 = 1.262 (1.34); Menger, venti di 1/3: log20/log3 = 2.727 (2.79) felce: A₁ = [[0, 0], [0, 0.16]], p = 0.01; A₂ = [[0.85, 0.04], [−0.04, 0.85]], b = (0, 1.6), p = 0.85; A₃ = [[0.20, −0.26], [0.23, 0.22]], b = (0, 1.6), p = 0.07; A₄ = [[−0.15, 0.28], [0.26, 0.24]], b = (0, 0.44), p = 0.07 dado: lo xorshift condiviso; i 20 salti del transitorio iniziale non vengono registrati; partenza (0.1, 0.2), z = 0.3 nello spazio
