Math
Gra w chaos
Kostka i skok w stronę losowego wierzchołka budują fraktal, którego nikt nie narysował - trójkąt Sierpińskiego, paproć, smoka, gąbkę Mengera - ten sam z dowolnego startu; przeciągaj wierzchołki, zmieniaj skok, licz pudełka i mierz jego wymiar.
Co się dzieje
Wybierz narożnik losowo i przesuń punkt o ustalony ułamek w jego kierunku. Powtarzanie tej lokalnej reguły tworzy fraktal. W ustawieniu trójkąta skok na pół dystansu generuje atraktor Sierpinski po początkowych przejściach.
Dwa punkty napędzane przez tę samą sekwencję narożną zapominają o swojej początkowej separacji: dla skoków na pół dystansu ich odległość po k krokach wynosi d_k = d_0·(1/2)^k, gdzie d_0 jest ich odległością początkową. Ta dokładna kontrakcja dotyczy sparowanych trajektorii pod tą samą regułą, a nie dwóch niezależnych sekwencji losowych. Przeciągnij narożnik, aby odtworzyć zapamiętane wybory z nową geometrią.
Porównaj trójkąt, czworościan, ograniczony kwadrat, pięciokąt, paproć, smok, Koch i Menger presety. Liczenie pudełek oszacowuje wymiar z chmury punktów skończonych. Wzór podobieństwa D = log(n)/log(1/c) stosuje się do n kopii ze wspólną kontrakcją c przy odpowiednich założeniach separacji; Nie jest to uniwersalna formuła wymiaru dla nakładających się lub nierównych map afinowych.
Równania modułu
Równania gra: x ← x + r·(v − x) = (1 − r)·x + r·v w stronę losowego wierzchołka v; skok r, współczynnik kontrakcji c = 1 − r; postać ogólna x ← A_i·x + b_i z prawdopodobieństwem p_i (układ funkcji iterowanych) zapomniany start: dwa punkty x, y przy tej samej kostce: |x_k − y_k| = c^k·|x_0 − y_0| dokładnie dla podobieństw - po 20 połowieniach odległość spada do 1.79·10^−6 pierwotnej wartości 1.88; paproć (nie jest podobieństwem) kurczy się do 2.4·10^−5 z 5.26 w 40 skokach dziura: przy r = 1/2 środkowa czwarta część trójkąta jest dokładnie pusta (0 z 50 000 punktów po rozgrzewce); przy r = 0.45 kopie są skalowane o 0.55, nakładają się i trafia tam 10 435 z 50 000 punktów; przy r = 0.55 dziura się powiększa wymiar: pudełka o boku 2^−k nałożone na otaczający sześcian; N(k) ∝ 2^(k·D); D = nachylenie log2 N względem k, dopasowane dla k = 4 … 7 (płaszczyzna) lub 3 … 5 (przestrzeń); Moran: n niezachodzących na siebie kopii o skali c spełnia Σ c^D = 1, D = log n / log(1/c) gotowe ustawienia: trójkąt log3/log2 = 1.585 (zmierzone 1.60 na 200 000 punktach); czworościan 2 (1.90); kwadrat bez powtórzeń, trzy wybory o skali 1/2: log3/log2 (1.586); pięciokąt przy r = 1/φ, c = 1/φ²: log5/log φ² = 1.672 (1.64); paproć - brak wymiaru podobieństwa (1.81); smok, dwa odwzorowania o skali 1/√2: 2 (1.80); Koch, cztery o skali 1/3: log4/log3 = 1.262 (1.34); Menger, dwadzieścia o skali 1/3: log20/log3 = 2.727 (2.79) paproć: A₁ = [[0, 0], [0, 0.16]], p = 0.01; A₂ = [[0.85, 0.04], [−0.04, 0.85]], b = (0, 1.6), p = 0.85; A₃ = [[0.20, −0.26], [0.23, 0.22]], b = (0, 1.6), p = 0.07; A₄ = [[−0.15, 0.28], [0.26, 0.24]], b = (0, 0.44), p = 0.07 kostka: wspólny generator xorshift; 20 skoków rozgrzewki nie jest zapisywanych; start (0.1, 0.2), z = 0.3 w przestrzeni
