Math
Гра в хаос
Кубик і стрибок до випадкового кута будують фрактал, якого ніхто не малював — трикутник Серпінського, папороть, дракона, губку Менгера — той самий з будь-якого старту; тягай кути, міняй стрибок, рахуй клітинки і вимірюй його розмірність.
Що відбувається
Вибрати кут випадковим чином і пересунути точку на фіксовану відстань до нього. Повторення цього локального правила створює фрактал. У попередньому налаштуванні трикутника стрибки на половину відстані створюють атракціон Sierpinski після початкових переходів.
Дві точки, що рухаються однією і тією ж послідовністю кутів, забувають про своє початкове розділення: для стрибків на половину відстані їх відстань після k кроків дорівнює d_k = d_0·(1/2)^k, де d_0 є їх початковою відстанню. Ця точна контракція стосується парних траєкторій за одним правилом, а не двох незалежних випадкових послідовностей. Перетягніть кут, щоб відтворити запам’ ятані вибірки з новою геометрією.
Порівняти трикутник, тетраедр, обмежений квадрат, п’ ятірку, папороть, дракона, Koch і Menger. Підрахунок блоків оцінює розмір з хмари кінцевих точок. Формула подібності D = log(n)/log(1/c) застосовується до n копій з спільним скороченням c за відповідних припущень розділення; це не універсальна формула розмірності для перетинаючихся або нерівних афінних відображень.
Рівняння модуля
Рівняння гра: x ← x + r·(v − x) = (1 − r)·x + r·v до випадкового кута v; стрибок r, стиск c = 1 − r; загальний вигляд x ← A_i·x + b_i з імовірністю p_i (система ітерованих функцій) забутий початок: дві точки x, y за того самого кубика: |x_k − y_k| = c^k·|x_0 − y_0| точно для перетворень подібності - після 20 поділів навпіл 1.79·10^−6 від початкових 1.88; папороть (не перетворення подібності) стискається до 2.4·10^−5 від 5.26 за 40 стрибків дірка: при r = 1/2 середня чверть трикутника цілком порожня (0 із 50 000 точок після розігріву); при r = 0.45 копії масштабуються з коефіцієнтом 0.55, перекриваються, і туди потрапляє 10 435 із 50 000; при r = 0.55 дірка розширюється розмірність: комірки зі стороною 2^−k в охоплювальному кубі; N(k) ∝ 2^(k·D); D = нахил log2 N відносно k, підігнаний на k = 4 … 7 (на площині) або 3 … 5 (у просторі); Моран: n копій з коефіцієнтом подібності c, що не перекриваються, мають Σ c^D = 1, D = log n / log(1/c) готові набори: трикутник log3/log2 = 1.585 (виміряно 1.60 на 200 000 точок); тетраедр 2 (1.90); квадрат без повторів, три вибори по 1/2: log3/log2 (1.586); п'ятикутник при r = 1/φ, c = 1/φ²: log5/log φ² = 1.672 (1.64); папороть - без розмірності подібності (1.81); дракон, два відображення з коефіцієнтом 1/√2: 2 (1.80); Кох, чотири відображення з коефіцієнтом 1/3: log4/log3 = 1.262 (1.34); Менгер, двадцять відображень з коефіцієнтом 1/3: log20/log3 = 2.727 (2.79) папороть: A₁ = [[0, 0], [0, 0.16]], p = 0.01; A₂ = [[0.85, 0.04], [−0.04, 0.85]], b = (0, 1.6), p = 0.85; A₃ = [[0.20, −0.26], [0.23, 0.22]], b = (0, 1.6), p = 0.07; A₄ = [[−0.15, 0.28], [0.26, 0.24]], b = (0, 0.44), p = 0.07 кубик: спільний xorshift; 20 стрибків розігріву не записуються; старт (0.1, 0.2), z = 0.3 у просторі
