Math
Juego del caos
Un dado y un salto hacia una esquina al azar construyen un fractal que nadie dibujó - el triángulo de Sierpinski, el helecho, el dragón, la esponja de Menger - el mismo desde cualquier inicio; arrastra las esquinas, cambia el salto, cuenta las cajas y mide su dimensión.
Qué ocurre
Elige una esquina al azar y mueve el punto una fracción fija hacia ella. Repetir esta regla local produce un fractal. En el preset de triángulo, un salto de media distancia genera el atractor Sierpinski después de los transitorios iniciales.
Dos puntos impulsados por la misma secuencia de esquina olvidan su separación inicial: para saltos de media distancia su distancia después de k pasos es d_k = d_0·(1/2)^k, donde d_0 es su distancia inicial. Esta contracción exacta se refiere a trayectorias pareadas bajo la misma regla, no a dos secuencias aleatorias independientes. Arrastre una esquina para reproducir las opciones recordadas con nueva geometría.
Compare los presets de triángulo, tetraedro, cuadrado restringido, pentágono, helecho, dragón, Koch y Menger. El conteo de cajas estima una dimensión de la nube de puntos finitos. La fórmula de similitud D = log(n)/log(1/c) se aplica a n copias con una contracción común c bajo los supuestos de separación apropiados; No es una fórmula de dimensión universal para mapas afines superpuestos o desiguales.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones juego: x ← x + r·(v − x) = (1 − r)·x + r·v hacia un vértice aleatorio v; salto r, contracción c = 1 − r; forma general x ← A_i·x + b_i con probabilidad p_i (un sistema de funciones iteradas) inicio olvidado: dos puntos x, y bajo el mismo dado: |x_k − y_k| = c^k·|x_0 − y_0| exactamente para las semejanzas - tras 20 reducciones a la mitad 1.79·10^−6 del 1.88 original; el helecho (que no es una semejanza) se contrae hasta 2.4·10^−5 de 5.26 en 40 saltos agujero: con r = 1/2 el cuarto central del triángulo está exactamente vacío (0 de 50 000 puntos tras el calentamiento); con r = 0.45 las copias se reducen en un factor 0.55, se solapan y 10 435 de 50 000 caen ahí; con r = 0.55 el agujero se ensancha dimensión: cajas de lado 2^−k sobre el cubo envolvente; N(k) ∝ 2^(k·D); D = pendiente de log2 N frente a k, ajustada sobre k = 4 … 7 (plano) o 3 … 5 (espacio); Moran: n copias de razón c que no se solapan cumplen Σ c^D = 1, D = log n / log(1/c) preajustes: triángulo log3/log2 = 1.585 (medido 1.60 sobre 200 000 puntos); tetraedro 2 (1.90); cuadrado sin repeticiones, tres elecciones de 1/2: log3/log2 (1.586); pentágono con r = 1/φ, c = 1/φ²: log5/log φ² = 1.672 (1.64); helecho - sin dimensión de semejanza (1.81); dragón, dos aplicaciones de 1/√2: 2 (1.80); Koch, cuatro de 1/3: log4/log3 = 1.262 (1.34); Menger, veinte de 1/3: log20/log3 = 2.727 (2.79) helecho: A₁ = [[0, 0], [0, 0.16]], p = 0.01; A₂ = [[0.85, 0.04], [−0.04, 0.85]], b = (0, 1.6), p = 0.85; A₃ = [[0.20, −0.26], [0.23, 0.22]], b = (0, 1.6), p = 0.07; A₄ = [[−0.15, 0.28], [0.26, 0.24]], b = (0, 0.44), p = 0.07 dado: el xorshift compartido; 20 saltos de calentamiento no se registran; inicio (0.1, 0.2), z = 0.3 en el espacio
