Math
Chaosspiel
Ein Würfel und ein Sprung zu einer zufälligen Ecke bauen ein Fraktal, das niemand gezeichnet hat - Sierpinskis Dreieck, den Farn, den Drachen, den Menger-Schwamm - dasselbe von jedem Start aus; zieh die Ecken, ändere den Sprung, zähle die Kästchen und miss seine Dimension.
Was passiert
Wählen Sie eine Ecke nach dem Zufallsprinzip und bewegen Sie den Punkt um einen festen Bruchteil dahin. Die Wiederholung dieser lokalen Regel erzeugt ein Fraktal. Im Triangle Preset erzeugt ein Halbdistanzsprung nach anfänglichen Transienten den Sierpinski Attraktor.
Zwei Punkte, die von derselben Eckfolge angetrieben werden, vergessen ihre anfängliche Trennung: für Halbdistanzsprünge ist ihre Distanz nach k Schritten d_k = d_0·(1/2)^k, wobei d_0 ihre Anfangsdistanz ist. Diese exakte Kontraktion betrifft gepaarte Trajektorien unter derselben Regel, nicht zwei unabhängige zufällige Sequenzen. Ziehen Sie eine Ecke, um die gespeicherten Auswahlmöglichkeiten mit neuer Geometrie zu wiederholen.
Vergleichen Sie die Voreinstellungen Dreieck, Tetraeder, eingeschränktes Quadrat, Fünfeck, Farn, Drache, Koch und Menger. Beim Box Counting wird eine Dimension aus der finiten Punktwolke geschätzt. Die Ähnlichkeitsformel D = log(n)/log(1/c) gilt für n Kopien mit einer gemeinsamen Kontraktion c unter den entsprechenden Trennungsannahmen; Es ist keine universelle Dimensionsformel für überlappende oder ungleiche affine Abbildungen.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen Spiel: x ← x + r·(v − x) = (1 − r)·x + r·v auf eine zufällige Ecke v zu; Sprung r, Kontraktion c = 1 − r; allgemeine Form x ← A_i·x + b_i mit Wahrscheinlichkeit p_i (ein iteriertes Funktionensystem) vergessener Start: zwei Punkte x, y unter demselben Würfel: |x_k − y_k| = c^k·|x_0 − y_0| genau für Ähnlichkeitsabbildungen, nach 20 Halbierungen 1.79·10^−6 des ursprünglichen 1.88; der Farn (keine Ähnlichkeit) schrumpft auf 2.4·10^−5 von 5.26 in 40 Sprüngen Loch: bei r = 1/2 ist das mittlere Viertel des Dreiecks genau leer (0 von 50 000 Punkten nach der Einschwingphase); bei r = 0.45 werden die Kopien um 0.55 skaliert, überlappen sich, und 10 435 von 50 000 landen dort; bei r = 0.55 weitet sich das Loch Dimension: Kästchen der Seitenlänge 2^−k über dem umschließenden Würfel; N(k) ∝ 2^(k·D); D = Steigung von log2 N gegen k, angepasst über k = 4 … 7 (eben) oder 3 … 5 (Raum); Moran: n Kopien vom Verhältnis c, die sich nicht überlappen, haben Σ c^D = 1, D = log n / log(1/c) Voreinstellungen: Dreieck log3/log2 = 1.585 (gemessen 1.60 bei 200 000 Punkten); Tetraeder 2 (1.90); Quadrat ohne Wiederholung, drei Wahlmöglichkeiten mit 1/2: log3/log2 (1.586); Fünfeck bei r = 1/φ, c = 1/φ²: log5/log φ² = 1.672 (1.64); Farn, keine Ähnlichkeitsdimension (1.81); Drachenkurve, zwei Abbildungen mit 1/√2: 2 (1.80); Koch, vier mit 1/3: log4/log3 = 1.262 (1.34); Menger, zwanzig mit 1/3: log20/log3 = 2.727 (2.79) Farn: A₁ = [[0, 0], [0, 0.16]], p = 0.01; A₂ = [[0.85, 0.04], [−0.04, 0.85]], b = (0, 1.6), p = 0.85; A₃ = [[0.20, −0.26], [0.23, 0.22]], b = (0, 1.6), p = 0.07; A₄ = [[−0.15, 0.28], [0.26, 0.24]], b = (0, 0.44), p = 0.07 Würfel: das gemeinsame xorshift; 20 Sprünge Einschwingphase werden nicht aufgezeichnet; Start (0.1, 0.2), z = 0.3 im Raum
