Math
Jeu du chaos
Un dé et un saut vers un coin au hasard construisent une fractale que personne n'a dessinée - le triangle de Sierpinski, la fougère, le dragon, l'éponge de Menger - la même depuis n'importe quel départ ; déplace les coins, change le saut, compte les boîtes et mesure sa dimension.
Ce qui se passe
Choisissez un coin au hasard et déplacez le point d'une fraction fixe vers lui. La répétition de cette règle locale produit une fractale. Dans le préréglage triangle, un saut demi-distance génère l'attracteur Sierpinski après les transitions initiales.
Deux points entraînés par la même séquence de coins oublient leur séparation initiale : pour les sauts demi-distance, leur distance après k pas est d_k = d_0·(1/2)^k, où d_0 est leur distance de départ. Cette contraction exacte concerne des trajectoires appariées sous la même règle, pas deux séquences aléatoires indépendantes. Faites glisser un coin pour rejouer les choix mémorisés avec une nouvelle géométrie.
Comparez les préréglages triangle, tétraèdre, carré contraint, pentagon, fougère, dragon, Koch et Menger. Le comptage des boîtes estime une dimension à partir du nuage de points finis. La formule de similitude D = log(n)/log(1/c) s'applique à n copies avec une contraction commune c dans les hypothèses de séparation appropriées; Ce n'est pas une formule de dimension universelle pour les cartes affines chevauchantes ou inégales.
Équations du module
Équations jeu : x ← x + r·(v − x) = (1 − r)·x + r·v vers un sommet v tiré au hasard ; saut r, contraction c = 1 − r ; forme générale x ← A_i·x + b_i avec la probabilité p_i (un système de fonctions itérées) oubli du départ : deux points x, y avec le même dé : |x_k − y_k| = c^k·|x_0 − y_0| exactement pour les similitudes - après 20 divisions par deux, 1.79·10^−6 contre 1.88 au départ ; la fougère (qui n'est pas une similitude) se contracte à 2.4·10^−5 (au départ 5.26) en 40 sauts trou : pour r = 1/2, le quart central du triangle est exactement vide (0 point sur 50 000 après la phase de chauffe) ; pour r = 0.45, les copies sont réduites d'un facteur 0.55, se chevauchent, et 10 435 points sur 50 000 y tombent ; pour r = 0.55, le trou s'élargit dimension : boîtes de côté 2^−k sur le cube englobant ; N(k) ∝ 2^(k·D) ; D = pente de log2 N en fonction de k, ajustée sur k = 4 … 7 (plan) ou 3 … 5 (espace) ; Moran : n copies de rapport c qui ne se chevauchent pas vérifient Σ c^D = 1, D = log n / log(1/c) préréglages : triangle log3/log2 = 1.585 (mesuré 1.60 sur 200 000 points) ; tétraèdre 2 (1.90) ; carré sans répétition, trois choix de 1/2 : log3/log2 (1.586) ; pentagone avec r = 1/φ, c = 1/φ² : log5/log φ² = 1.672 (1.64) ; fougère - pas de dimension de similarité (1.81) ; dragon, deux applications de rapport 1/√2 : 2 (1.80) ; Koch, quatre de rapport 1/3 : log4/log3 = 1.262 (1.34) ; Menger, vingt de rapport 1/3 : log20/log3 = 2.727 (2.79) fougère : A₁ = [[0, 0], [0, 0.16]], p = 0.01; A₂ = [[0.85, 0.04], [−0.04, 0.85]], b = (0, 1.6), p = 0.85; A₃ = [[0.20, −0.26], [0.23, 0.22]], b = (0, 1.6), p = 0.07; A₄ = [[−0.15, 0.28], [0.26, 0.24]], b = (0, 0.44), p = 0.07 dé : le xorshift commun ; les 20 premiers sauts de chauffe ne sont pas enregistrés ; départ (0.1, 0.2), z = 0.3 dans l'espace
