Earth
Circolazione atmosferica globale
Avvia l’atmosfera di un pianeta dalla quiete e guarda le celle di Hadley crescere dai tropici finché la formula chiusa di Held e Hou dice che devono fermarsi: l’aria che sale all’equatore conserva il suo momento angolare nel viaggio verso il polo, così che il vento in quota diventa Ω·a·sin²φ/cos φ, una corrente a getto subtropicale, e la cella arriva solo fin dove consente la costruzione ad aree uguali: 26,5° per la Terra, non i 28,8° della formula per piccoli angoli. Sotto, gli alisei diventano venti occidentali dove lo dice il bilancio del momento angolare, e i loro momenti si annullano. Rallenta il pianeta e le celle si allargano verso i poli; fermalo e una sola cella riempie ogni emisfero senza alcun vento zonale. Sposta il riscaldamento di sei gradi a nord e l’ascesa salta a 21°, con la cella invernale cento volte più forte di quella estiva, come trovarono Lindzen e Hou; lascia scorrere le stagioni e l’ITCZ oscilla di 18° da ogni lato, con due mesi di ritardo.
Cosa succede
La temperatura potenziale di colonna θ di 120 fasce di area uguale in x = sin φ si rilassa in τ = 20 giorni verso l’equilibrio radiativo θ_E = θ0 − Δθ((x − x_h)² − 1/3), θ0 = 300 K, Δθ = 100 K, partendo da uno stato isotermo. La circolazione di rovesciamento porta il calore lontano dall’ascesa x0 secondo il teorema di Hide: dove il gradiente di temperatura è più ripido di quello in equilibrio con il vento che conserva il momento angolare u_M = Ω·a·(x² − x0²)/cos φ, la cella trasporta il flusso F = D·(G − G_M) con D = 5 al giorno, che tiene θ su θ_M = θ_M0 − K·(x² − x0²)²/(1 − x²), K = θ0·Ω²a²/(2gH) = 330 K per H = 10 km. Eulero implicito a passi di sei ore, con l’estensione della cella iterata dentro ogni passo; l’ascesa segue la colonna più calda in dieci giorni. Il contenuto di calore varia esattamente del riscaldamento. Il vento in quota è u_M nella cella e il vento di gradiente di θ fuori; una colonna a due strati con ΔV = 20 K dà la funzione di corrente di massa Ψ = 2πa²(p_s/g)·F/ΔV; il vento al suolo chiude il bilancio del momento angolare dello strato inferiore con un tempo d’attrito di 2 giorni, così che i momenti di alisei e venti occidentali si annullano. Le formule chiuse: il bordo per piccoli angoli √(5gHΔθ/(3Ω²a²θ0)) = 28.8°, il bordo esatto ad aree uguali 26,5°, le celle di Lindzen-Hou per un riscaldamento spostato, il vento al suolo stazionario e la sua inversione a 17,2° (√(3/7) della cella nel limite di piccoli angoli).
Da provare
Guarda le celle allargarsi dall’equatore e fermarsi al bordo della formula chiusa; confronta il getto con Ω·a·sin²φ/cos φ e l’inversione del vento al suolo; riduci la rotazione a un decimo e a zero; dimezza il contrasto di riscaldamento; sposta il riscaldamento fuori dall’equatore, poi lascia scorrere le stagioni.
Il modello e i suoi limiti
Simmetria zonale: un modello di rilassamento di Held-Hou con stabilità statica e spessore fissi, riscaldamento newtoniano, niente umidità, niente vortici e niente oceano. Il flusso in quota è assunto conservativo del momento angolare dentro la cella; il vento al suolo è diagnosticato dal bilancio stazionario del momento angolare dello strato inferiore, quindi è debole, come nella teoria. Le celle di Ferrel e polari, le traiettorie delle perturbazioni e le fasce nuvolose sono disegnate in modo schematico: sono i vortici a guidarle e il modello non ne ha. I bordi coincidono con le formule chiuse entro circa una fascia, più grossolanamente vicino ai poli. Non in scala: l’atmosfera è disegnata circa trenta volte troppo spessa.
Equazioni del modulo
Equazioni dθ/dt = (θ_E − θ)/τ − ∂F/∂x, θ_E = θ0 − Δθ·((x − x_h)² − 1/3), x = sin φ F = D·(G − G_M) where (x − x0)·(G − G_M) > 0, G = −∂θ/∂x, θ_M = θ_M0 − K·(x² − x0²)²/(1 − x²), K = θ0·Ω²a²/(2gH) u_M = Ω·a·(x² − x0²)/cos φ, Ψ = 2πa²·(p_s/g)·F/ΔV, u_s = −(2τ_f/(ΔV·cos φ))·∂(F·cos φ·u_M)/∂x φ_H ≈ √(5gHΔθ/(3Ω²a²θ0)), exact: −(2/3)·Δθ·X³ + K·(X⁵/(1 − X²) + X + X³/3 − atanh X) = 0
