Earth
Fronti caldi e freddi
Guarda un fronte freddo passare sopra una cittadina in un pomeriggio d’estate afoso. Aria fredda, più fredda di sette gradi e spessa due chilometri, viene liberata a ovest e corre sotto l’aria calda come una corrente di densità: il suo naso avanza alla Fr·√(g’h) di Benjamin in aggiunta al vento guida, con la profondità dietro di esso e la velocità come dice la formula chiusa di Rottman e Simpson, e il ventaglio di Ritter dietro. Lo strato limite caldo viene sollevato sopra l’aria fredda; sopra il suo livello di condensazione forma una shelf cloud scura con una nube a rullo lungo il naso e una cortina di pioggia dietro. L’antenna meteo e il meteogramma della cittadina registrano il calo di temperatura, il salto di pressione ρg’h, la raffica e il vento che ruota. Passa ai fronti geostrofici di Margules, inclinati di f·Δv·T/(gΔT): un fronte freddo portato dal vento, o un fronte caldo con la pioggia davanti e la pressione in calo. Senza contrasto di densità non si muove proprio nulla.
Cosa succede
Una sezione verticale attraverso il fronte, uniforme lungo di esso, x verso est. L’aria fredda a T_w − 7 K sotto aria calda a 26 °C è uno strato d’acqua bassa a gravità ridotta, g’ = gΔT/T_w = 0.230 m/s², in 319 colonne lagrangiane di volume fisso (250 m vicino alla paratoia, più larghe verso il retro fino a una parete 300 km indietro); le pressioni di colonna g’h²/2, una viscosità turbolenta di 2000 m²/s e una viscosità quadratica spingono i nodi a passi simplettici di 2 s, Coriolis a 48° N agisce sullo scostamento del vento parallelo al fronte da quello dell’aria calda, e ogni nodo conserva la sua quantità di moto assoluta v + f(x − u_b t). Un serbatoio di 2 km liberato a x = 0 corre verso est sotto uno strato caldo spesso 6 km con il naso a u_b + Fr(h/H)√(g’h), con la Fr = √((2 − a)(1 − a)/(1 + a)) di Benjamin; Rottman e Simpson: u + 2c = 2c0 con u = Fr c dà h_f = 781 m e U = 16.07 m/s, così che con il vento guida di 5 m/s il fronte raggiunge la cittadina a 36 km in 28,5 min, e il ventaglio di Ritter h = (2c0 − ξ)²/(9g’) sta dietro. I fronti di Margules sono cunei di pendenza tan α = fΔvT/(gΔT) = 5.7 m/km per un taglio di 12 m/s, in esatto equilibrio geostrofico discreto e portati dal vento guida. Lo strato limite caldo, spesso 1000 m con il 65 % di umidità, condensa sopra il suo LCL di 894 m (bisezione lungo l’adiabatica secca con Magnus; formula chiusa 889 m, Espy 885 m) in ragione di ρ·Γq per metro di sollevamento e di spessore saturo, Γq = 2.17 g/kg/km dell’adiabatica umida; 81 pluviometri raccolgono la condensazione dell’aria calda che passa sopra di loro e la lasciano cadere in 15 min. La stazione registra ogni minuto la temperatura, il salto di pressione idrostatica ρ_c g’h, il vento e la pioggia.
Da provare
Guarda il fronte raggiungere la cittadina e il meteogramma fare un gradino: freddo, pressione più alta di ρ_c g’h_f, una raffica e una rotazione del vento; confronta la velocità del naso e la testa con la formula chiusa; togli la rotazione e l’accordo diventa esatto; alza l’umidità o lo strato limite per una shelf cloud più scura e più pioggia; passa al fronte freddo di Margules per una rotazione da sud a nord-ovest, o al fronte caldo per la pioggia davanti e la pressione in calo; togli la rotazione a un fronte di Margules e guardalo afflosciarsi; metti un contrasto basso e si muove appena.
Il modello e i suoi limiti
Strato idrostatico a due fluidi sotto aria calda profonda e passiva: niente vortici di testa, nessun mescolamento attraverso l’interfaccia e nessun flusso di ritorno; lo spessore finito dell’aria calda entra solo tramite la condizione di fronte di Benjamin. L’aria calda è sollevata esattamente quanto è profonda l’aria fredda sotto di essa e condensa su un’adiabatica umida linearizzata; non c’è convezione, perciò la pioggia è solo quella del sollevamento dello strato, minore di quella di una vera linea di groppo, e cade dove si forma dopo un ritardo, senza deriva. I cunei di Margules si fermano alla profondità fredda contro una parete che si muove con il vento guida, molto fuori vista; il loro nodo di punta in superficie porta la media dei due venti. I passi temporali sono del primo ordine: il bilancio energetico chiude a circa 10^-4 dell’energia iniziale, volumi e quantità di moto assoluta a meno degli arrotondamenti. La cittadina, gli alberi, l’antenna e la lavagna non sono in scala.
Equazioni del modulo
Equazioni ∂h/∂t + ∂(h·u)/∂x = 0, Du/Dt − f·(v − v_w) = −g’·∂h/∂x, Dv/Dt = −f·(u − u_b), g’ = g·ΔT/T_w Nose: u_N = u_b + Fr·√(g’·h), Fr = √((2 − a)(1 − a)/(1 + a)), a = h/H; u + 2c = 2c0 ⇒ c_f = 2c0/(2 + Fr), h = (2c0 − x/t)²/(9g’) in Ritter’s fan Margules: tan α = f·Δv·T/(g·ΔT); Δp = ρ_c·g’·h z_LCL = (T − T_d)/(g/c_p − g·R_v·T_d²/(L·R_d·T)), C(Δz) = ρ·Γq·∫₀^D [max(0, z₀ + Δz − z_LCL) − max(0, z₀ − z_LCL)] dz₀
