Math
Decomposizione ai valori singolari
Qualsiasi matrice come una rotazione, uno stiramento e un'altra rotazione: la sfera unitaria ruota, si stira nell'ellissoide dei valori singolari e ruota al suo posto, un fattore alla volta, e l'unica terna le cui immagini restano ortogonali è misurata, non disegnata.
Cosa succede
Ogni matrice, qualunque cosa faccia, è una rotazione, poi uno stiramento lungo tre assi perpendicolari, poi un'altra rotazione - è la decomposizione ai valori singolari, e la sfera unitaria la mostra: la matrice la trasforma in un ellissoide i cui semiassi sono i valori singolari. Il più grande è quanto la matrice può ingrandire, il più piccolo quanto può schiacciare, e il loro rapporto è il numero di condizionamento che decide se un sistema lineare si può risolvere con fiducia. Una deformazione di taglio, che non sembra affatto tale, stira anch'essa in diagonale. Scrivi una matrice, guarda la sfera deformarsi e leggi le tre σ sugli assi.
Equazioni del modulo
Equazioni A = U Σ V^T, U, V rotazioni, Σ = diag(σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃ ≥ 0) A v_i = σ_i u_i; σ₁ = max |Av| sulla sfera unitaria, σ₃ = min σ₁σ₂σ₃ = |det A|; numero di condizionamento κ = σ₁/σ₃ polare: A = (U V^T)(V Σ V^T) - una rotazione per un allungamento simmetrico
