Math
Descomposición en valores singulares
Cualquier matriz como una rotación, un estiramiento y otra rotación: la esfera unidad gira, se estira en el elipsoide de los valores singulares y gira a su sitio, un factor cada vez, y el único triedro cuyas imágenes siguen ortogonales se mide, no se dibuja.
Qué ocurre
Toda matriz, haga lo que haga, es una rotación, luego un estiramiento a lo largo de tres ejes perpendiculares, luego otra rotación: es la descomposición en valores singulares, y la esfera unidad la muestra: la matriz la convierte en un elipsoide cuyos semiejes son los valores singulares. El mayor es cuánto puede magnificar la matriz, el menor cuánto puede aplastar, y su cociente es el número de condición que decide si un sistema lineal puede resolverse con confianza. Una cizalla, que no parece nada de eso, también estira en diagonal. Escribe una matriz, mira deformarse la esfera y lee las tres σ en los ejes.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones A = U Σ V^T, U, V rotaciones, Σ = diag(σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃ ≥ 0) A v_i = σ_i u_i; σ₁ = max |Av| sobre la esfera unidad, σ₃ = min σ₁σ₂σ₃ = |det A|; número de condición κ = σ₁/σ₃ polar: A = (U V^T)(V Σ V^T) - una rotación por un estiramiento simétrico
