Math
Singulärwertzerlegung
Jede Matrix als Drehung, Streckung und noch eine Drehung: die Einheitskugel dreht sich, streckt sich zum Ellipsoid der Singulärwerte und dreht sich an ihren Platz, ein Faktor nach dem anderen; das eine Dreibein, dessen Bilder orthogonal bleiben, wird gemessen, nicht gezeichnet.
Was passiert
Jede Matrix, was auch immer sie tut, ist eine Drehung, dann eine Streckung entlang dreier senkrechter Achsen, dann eine weitere Drehung - das ist die Singulärwertzerlegung, und die Einheitskugel zeigt sie: die Matrix macht aus ihr ein Ellipsoid, dessen Halbachsen die Singulärwerte sind. Der größte ist, wie stark die Matrix vergrößern kann, der kleinste, wie stark sie zerquetschen kann, und ihr Verhältnis ist die Konditionszahl, die entscheidet, ob ein lineares System vertrauenswürdig lösbar ist. Eine Scherung, die nach nichts dergleichen aussieht, streckt auch diagonal. Tippe eine Matrix, sieh die Kugel sich verformen, und lies die drei σ an den Achsen ab.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen A = U Σ V^T, U, V Drehungen, Σ = diag(σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃ ≥ 0) A v_i = σ_i u_i; σ₁ = max |Av| auf der Einheitskugel, σ₃ = min σ₁σ₂σ₃ = |det A|; Konditionszahl κ = σ₁/σ₃ Polarzerlegung: A = (U V^T)(V Σ V^T) - eine Drehung mal einer symmetrischen Streckung
