Math
Décomposition en valeurs singulières
Toute matrice comme une rotation, un étirement et une autre rotation : la sphère unité tourne, s'étire en l'ellipsoïde des valeurs singulières et tourne à sa place, un facteur à la fois, et l'unique trièdre dont les images restent orthogonales est mesuré, pas dessiné.
Ce qui se passe
Toute matrice, quoi qu'elle fasse, est une rotation, puis un étirement le long de trois axes perpendiculaires, puis une autre rotation - c'est la décomposition en valeurs singulières, et la sphère unité la montre : la matrice en fait un ellipsoïde dont les demi-axes sont les valeurs singulières. La plus grande dit combien la matrice peut amplifier, la plus petite combien elle peut écraser, et leur rapport est le conditionnement qui décide si un système linéaire peut être résolu avec confiance. Un cisaillement, qui n'y ressemble en rien, étire aussi en diagonale. Tapez une matrice, regardez la sphère se déformer, et lisez les trois σ sur les axes.
Équations du module
Équations A = U Σ V^T, U, V des rotations, Σ = diag(σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃ ≥ 0) A v_i = σ_i u_i ; σ₁ = max |Av| sur la sphère unité, σ₃ = min σ₁σ₂σ₃ = |det A| ; nombre de conditionnement κ = σ₁/σ₃ polaire : A = (U V^T)(V Σ V^T) - une rotation fois un étirement symétrique
