Math
Сингулярний розклад
Будь-яка матриця як поворот, розтяг і ще один поворот: одинична сфера повертається, розтягується в еліпсоїд сингулярних чисел і повертається на місце, по одному множнику за раз, а єдина трійка, чиї образи лишаються ортогональними, виміряна, а не намальована.
Що відбувається
Будь-яка матриця, що б вона не робила, — це поворот, потім розтяг уздовж трьох перпендикулярних осей, потім ще поворот: це сингулярний розклад, і одинична сфера його показує — матриця перетворює її на еліпсоїд, півосі якого і є сингулярні числа. Найбільше — наскільки матриця може збільшити, найменше — наскільки стиснути, а їх відношення — число обумовленості, що вирішує, чи можна впевнено розв’язати лінійну систему. Зсув, зовсім на це не схожий, теж розтягує по діагоналі. Введіть матрицю, дивіться, як деформується сфера, і читайте три σ по осях.
Рівняння модуля
Рівняння A = U Σ V^T, U, V - повороти, Σ = diag(σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃ ≥ 0) A v_i = σ_i u_i; σ₁ = max |Av| на одиничній сфері, σ₃ = min σ₁σ₂σ₃ = |det A|; число обумовленості κ = σ₁/σ₃ полярний розклад: A = (U V^T)(V Σ V^T) - поворот, помножений на симетричний розтяг
