Math
Сингулярное разложение
Любая матрица как поворот, растяжение и ещё один поворот: единичная сфера поворачивается, растягивается в эллипсоид сингулярных чисел и поворачивается на место, по одному множителю за раз, а единственная тройка, чьи образы остаются ортогональны, измерена, а не нарисована.
Что происходит
Любая матрица, что бы она ни делала, — это поворот, потом растяжение вдоль трёх перпендикулярных осей, потом ещё поворот: это сингулярное разложение, и единичная сфера его показывает — матрица превращает её в эллипсоид, полуоси которого и есть сингулярные числа. Наибольшее — насколько матрица может увеличить, наименьшее — насколько сжать, а их отношение — число обусловленности, решающее, можно ли уверенно решить линейную систему. Сдвиг, вовсе на это не похожий, тоже растягивает по диагонали. Введите матрицу, смотрите, как деформируется сфера, и читайте три σ по осям.
Уравнения модуля
Уравнения A = U Σ V^T, U, V - повороты, Σ = diag(σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃ ≥ 0) A v_i = σ_i u_i; σ₁ = max |Av| на единичной сфере, σ₃ = min σ₁σ₂σ₃ = |det A|; число обусловленности κ = σ₁/σ₃ полярное разложение: A = (U V^T)(V Σ V^T) - поворот, умноженный на симметричное растяжение
