Math
Ряди Фур'є
Епіцикли, що складають малюнок, синуси, що складають хвилю, і викид на стрибку, який ніколи не зникає.
Що відбувається
Будь-який замкнений малюнок можна записати сумою кіл: коефіцієнти Фур'є кривої, кожен - коло радіуса |c_k|, що робить k обертів за круг, поставлені центром на край попереднього, з пером на кінці останньої спиці. Великі кола йдуть першими, і кожне наступне підводить перо ближче до малюнка - середньоквадратична похибка на панелі виміряна, а не обіцяна; квадрату вистачає непарних гармонік зі змінним знаком. Слід лишається і в часі - штопор, що йде вглиб. Вид «хвиля» розгортає гармоніки прямокутної хвилі вглиб, по синусу на площину, і їхню суму попереду: сума тягнеться до прямокутника і на стрибку викидає, і викид - 8.95 % висоти стрибка за будь-якого N понад дюжину: вужче, але не менше. Це Гіббс, і тут він виміряний. Парсеваль замикає: сума |c_k|² - середній квадрат сигналу.
Рівняння модуля
Рівняння f(x) = a₀/2 + Σ (a_n cos nx + b_n sin nx), b_n = (1/π) ∫ f(x) sin nx dx прямокутна хвиля: f = (4/π) Σ sin(nx)/n за непарними n; пилкоподібна 2/(πn), трикутна 8/(π²n²) Гіббс: max S_N → 1 + 2·0.08949 для кожного великого N - викид звужується, але не меншає Парсеваль: Σ |c_k|² = середній квадрат f епіцикли: c_k = (1/M) Σ z_m e^(−2πikm/M), z(t) = Σ c_k e^(2πikt): кола радіуса |c_k|, що роблять k обертів за один цикл
