Math
Serie di Fourier
Epicicli che assemblano un disegno, seni che assemblano un'onda, e il sovraelongamento al salto che non se ne va mai.
Cosa succede
Ogni disegno chiuso si scrive come somma di cerchi: i coefficienti di Fourier della curva, ciascuno un cerchio di raggio |c_k| che gira k volte per giro, impilati centro su bordo, con una penna in fondo all'ultimo braccio. I cerchi più grandi vengono prima, e ogni cerchio in più avvicina la penna al disegno – l'errore rms sul pannello è misurato, non promesso; a un quadrato bastano armoniche dispari a segno alterno. La traccia resta anche nel tempo, un cavatappi che si allontana in profondità. La vista «onda» apre in profondità le armoniche di un'onda quadra, un seno per piano, con la loro somma davanti: la somma sale verso il quadrato e sbaglia al salto, e lo sbaglio è l'8,95 % del salto per ogni N oltre la dozzina – più stretto, mai più piccolo. Questo è Gibbs, misurato qui. Parseval chiude il cerchio: la somma dei |c_k|² è il quadrato medio del segnale.
Equazioni del modulo
Equazioni f(x) = a₀/2 + Σ (a_n cos nx + b_n sin nx), b_n = (1/π) ∫ f(x) sin nx dx onda quadra: f = (4/π) Σ sin(nx)/n su n dispari; dente di sega 2/(πn), triangolare 8/(π²n²) Gibbs: max S_N → 1 + 2·0.08949 per ogni N grande - la sovraelongazione si stringe, ma non si riduce mai Parseval: Σ |c_k|² = media del quadrato di f epicicli: c_k = (1/M) Σ z_m e^(−2πikm/M), z(t) = Σ c_k e^(2πikt): cerchi di raggio |c_k| che girano k volte per giro
