Math
Séries de Fourier
Des épicycles qui assemblent un dessin, des sinus qui assemblent une onde, et le dépassement au saut qui ne disparaît jamais.
Ce qui se passe
Tout dessin fermé s'écrit comme une somme de cercles : les coefficients de Fourier de la courbe, chacun un cercle de rayon |c_k| tournant k fois par tour, empilés centre sur bord, avec un stylo au bout du dernier bras. Les plus grands cercles viennent d'abord, et chaque cercle de plus rapproche le stylo du dessin – l'erreur rms du panneau est mesurée, non promise ; un carré n'a besoin que des harmoniques impairs à signe alterné. La trace reste aussi dans le temps, un tire-bouchon qui s'éloigne en profondeur. La vue « onde » déploie en profondeur les harmoniques d'une onde carrée, un sinus par plan, avec leur somme devant : la somme grimpe vers le carré et dépasse au saut, et le dépassement vaut 8,95 % du saut pour tout N au-delà d'une douzaine – plus étroit, jamais plus petit. C'est Gibbs, mesuré ici. Parseval boucle : la somme des |c_k|² est le carré moyen du signal.
Équations du module
Équations f(x) = a₀/2 + Σ (a_n cos nx + b_n sin nx), b_n = (1/π) ∫ f(x) sin nx dx signal carré : f = (4/π) Σ sin(nx)/n sur les n impairs ; dent de scie 2/(πn), triangle 8/(π²n²) Gibbs : max S_N → 1 + 2·0.08949 pour tout N grand - le dépassement s'amincit, sans jamais diminuer Parseval : Σ |c_k|² = valeur quadratique moyenne de f épicycles : c_k = (1/M) Σ z_m e^(−2πikm/M), z(t) = Σ c_k e^(2πikt) : cercles de rayon |c_k| tournant k fois par tour
