Math
Suite logistique et bifurcation
La cascade de doublements de période en rideau lumineux coloré par l'exposant de Lyapunov, avec une orbite en toile d'araignée jouée en direct au repère - doublements exactement à 3 et 1 + √6, chaos au bout.
Ce qui se passe
Un nombre par pas : x → r·x·(1 − x). Le rideau est le diagramme de bifurcation - une colonne de points d'orbite installés par r - et sa couleur est l'exposant de Lyapunov MESURÉ : bleu froid où une orbite attire, braise où des départs voisins s'écartent, et les fenêtres périodiques taillent des fentes froides en plein feu. Le repère doré parcourt le rideau, et la toile d'araignée à côté joue le même r en direct : la parabole, la diagonale, et l'orbite qui rebondit entre elles - elle se pose sur un point, un 2-cycle, un 4-cycle, ou jamais. Les formes closes sont imprimées à côté des mesures : le multiplicateur du point fixe vaut 2 − r, donc le premier doublement est exactement à r = 3 ; celui du 2-cycle vaut −r² + 2r + 4, donc le second à 1 + √6 ; les rapports des pas de doublement se referment sur le δ de Feigenbaum, 4.669 - la même constante pour une classe immense d'applications. La fenêtre de période 3 s'ouvre par tangence exactement à 1 + √8, et à r = 4 l'application EST un doublement d'angle déguisé - son exposant de Lyapunov vaut ln 2.
Équations du module
Équations x → r·x·(1 − x) sur [0, 1] point fixe : x* = 1 − 1/r, multiplicateur 2 − r : stable pour 1 < r < 3, premier doublement en r = 3 EXACTEMENT 2-cycle : multiplicateur −r² + 2r + 4 : second doublement en r = 1 + √6 superstable : f^(2^k)(1/2) = 1/2 en R1 = 2, R2 = 1 + √5, R3, R4, ... et (R_k − R_(k−1))/(R_(k+1) − R_k) → δ = 4.669 (Feigenbaum) la fenêtre de période-3 s'ouvre par tangence en r = 1 + √8 r = 4 : f(sin²t) = sin²(2t) - doublement de l'angle ; exposant de Lyapunov λ = ln 2
