Math
Логістичне відображення і біфуркації
Каскад подвоєнь періоду як світна завіса, забарвлена показником Ляпунова, з живою павутинкою біля позначки - подвоєння рівно в 3 і 1 + √6, хаос наприкінці.
Що відбувається
Одне число за крок: x → r·x·(1 − x). Завіса - біфуркаційна діаграма, по стовпчику усталених точок орбіти на кожне r, - а її колір - ВИМІРЯНИЙ показник Ляпунова: холодна синь там, де орбіта притягує, жар там, де сусідні старти розлітаються, і періодичні вікна ріжуть холодні прорізи просто крізь вогонь. Золота позначка гуляє завісою, а павутинка поруч грає те саме r наживо: парабола, діагональ і орбіта, що стрибає між ними, - осідає на точку, на 2-цикл, на 4-цикл або ніколи. Замкнені форми надруковані поруч із вимірами: мультиплікатор нерухомої точки - 2 − r, тому перше подвоєння стоїть рівно в r = 3; у 2-циклу - −r² + 2r + 4, тому друге - в 1 + √6; відношення кроків подвоєнь сходяться до δ Фейгенбаума 4.669 - тієї самої константи для величезного класу відображень. Вікно періоду 3 відкривається дотиком рівно в 1 + √8, а при r = 4 відображення - переодягнене подвоєння кута, і його показник Ляпунова дорівнює ln 2.
Рівняння модуля
Рівняння x → r·x·(1 − x) на [0, 1] нерухома точка: x* = 1 − 1/r, мультиплікатор 2 − r: стійка при 1 < r < 3, перше подвоєння при r = 3 ТОЧНО 2-цикл: мультиплікатор −r² + 2r + 4: друге подвоєння при r = 1 + √6 надстійкі цикли: f^(2^k)(1/2) = 1/2 при R1 = 2, R2 = 1 + √5, R3, R4, ... і (R_k − R_(k−1))/(R_(k+1) − R_k) → δ = 4.669 (Фейгенбаум) вікно періоду-3 відкривається дотиком при r = 1 + √8 r = 4: f(sin²t) = sin²(2t) - подвоєння кута; показник Ляпунова λ = ln 2
