Math
Mapa logístico y bifurcación
La cascada de duplicación de período como una cortina luminosa coloreada por el exponente de Lyapunov, con una órbita de telaraña en vivo en el marcador - duplicaciones exactas en 3 y 1 + √6, caos al final.
Qué ocurre
Un número por paso: x → r·x·(1 − x). La cortina es el diagrama de bifurcación - una columna de puntos de órbita asentados por cada r - y su color es el exponente de Lyapunov MEDIDO: azul frío donde una órbita atrae, fuego donde arranques vecinos se separan, y las ventanas periódicas cortan ranuras frías a través del fuego. El marcador dorado recorre la cortina, y la telaraña de al lado toca el mismo r en vivo: la parábola, la diagonal y la órbita rebotando entre ambas - se asienta en un punto, un 2-ciclo, un 4-ciclo, o nunca. Las formas cerradas se imprimen junto a las mediciones: el multiplicador del punto fijo es 2 − r, así que la primera duplicación está exactamente en r = 3; el del 2-ciclo es −r² + 2r + 4, así que la segunda en 1 + √6; las razones de los pasos cierran sobre la δ de Feigenbaum, 4.669 - la misma constante para una clase enorme de mapas. La ventana de período 3 se abre por tangencia exactamente en 1 + √8, y en r = 4 el mapa ES duplicación de ángulo disfrazada - su exponente de Lyapunov es ln 2.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones x → r·x·(1 − x) en [0, 1] punto fijo: x* = 1 − 1/r, multiplicador 2 − r: estable para 1 < r < 3, primera duplicación en r = 3 EXACTAMENTE 2-ciclo: multiplicador −r² + 2r + 4: segunda duplicación en r = 1 + √6 superestable: f^(2^k)(1/2) = 1/2 en R1 = 2, R2 = 1 + √5, R3, R4, ... y (R_k − R_(k−1))/(R_(k+1) − R_k) → δ = 4.669 (Feigenbaum) la ventana de periodo-3 se abre por tangencia en r = 1 + √8 r = 4: f(sin²t) = sin²(2t) - duplicación del ángulo; exponente de Lyapunov λ = ln 2
