Math
Odwzorowanie logistyczne i bifurkacja
Kaskada podwojeń okresu jako świetlista kurtyna zabarwiona wykładnikiem Lapunowa, z żywą pajęczyną orbity przy znaczniku - podwojenia dokładnie w 3 i 1 + √6, chaos na końcu.
Co się dzieje
Jedna liczba na krok: x → r·x·(1 − x). Kurtyna to diagram bifurkacyjny - kolumna ustalonych punktów orbity na każde r - a jej barwa to ZMIERZONY wykładnik Lapunowa: chłodny błękit tam, gdzie orbita przyciąga, żar tam, gdzie sąsiednie starty się rozbiegają, a okna okresowe wycinają zimne szczeliny prosto przez ogień. Złoty znacznik wędruje po kurtynie, a pajęczyna obok gra to samo r na żywo: parabola, przekątna i orbita odbijająca się między nimi - osiada na punkcie, na 2-cyklu, na 4-cyklu albo nigdy. Formy zamknięte wypisane są obok pomiarów: mnożnik punktu stałego to 2 − r, więc pierwsze podwojenie stoi dokładnie w r = 3; mnożnik 2-cyklu to −r² + 2r + 4, więc drugie w 1 + √6; stosunki kroków podwojeń domykają się na δ Feigenbauma 4.669 - tej samej stałej dla ogromnej klasy odwzorowań. Okno okresu 3 otwiera się przez styczność dokładnie w 1 + √8, a przy r = 4 odwzorowanie JEST przebranym podwajaniem kąta - jego wykładnik Lapunowa to ln 2.
Równania modułu
Równania x → r·x·(1 − x) na [0, 1] punkt stały: x* = 1 − 1/r, mnożnik 2 − r: stabilny dla 1 < r < 3, pierwsze podwojenie okresu przy r = 3 DOKŁADNIE 2-cykl: mnożnik −r² + 2r + 4: drugie podwojenie przy r = 1 + √6 cykle superstabilne: f^(2^k)(1/2) = 1/2 przy R1 = 2, R2 = 1 + √5, R3, R4, ... oraz (R_k − R_(k−1))/(R_(k+1) − R_k) → δ = 4.669 (Feigenbaum) okno okresu-3 otwiera się przez styczność przy r = 1 + √8 r = 4: f(sin²t) = sin²(2t) - podwajanie kąta; wykładnik Lapunowa λ = ln 2
