Math
Mappa logistica e biforcazione
La cascata di raddoppi di periodo come una tenda luminosa colorata dall'esponente di Lyapunov, con un'orbita a ragnatela dal vivo al segnaposto - raddoppi esatti a 3 e 1 + √6, caos alla fine.
Cosa succede
Un numero per passo: x → r·x·(1 − x). La tenda è il diagramma di biforcazione - una colonna di punti d'orbita assestati per ogni r - e il suo colore è l'esponente di Lyapunov MISURATO: blu freddo dove un'orbita attrae, brace dove partenze vicine si allontanano, e le finestre periodiche tagliano fessure fredde in mezzo al fuoco. Il segnaposto dorato percorre la tenda, e la ragnatela accanto suona lo stesso r dal vivo: la parabola, la diagonale e l'orbita che rimbalza fra loro - si posa su un punto, un 2-ciclo, un 4-ciclo, o mai. Le forme chiuse sono stampate accanto alle misure: il moltiplicatore del punto fisso è 2 − r, quindi il primo raddoppio sta esattamente a r = 3; quello del 2-ciclo è −r² + 2r + 4, quindi il secondo a 1 + √6; i rapporti dei passi si chiudono sulla δ di Feigenbaum, 4.669 - la stessa costante per una classe enorme di mappe. La finestra di periodo 3 si apre per tangenza esattamente a 1 + √8, e a r = 4 la mappa È un raddoppio d'angolo travestito - il suo esponente di Lyapunov è ln 2.
Equazioni del modulo
Equazioni x → r·x·(1 − x) su [0, 1] punto fisso: x* = 1 − 1/r, moltiplicatore 2 − r: stabile per 1 < r < 3, primo raddoppiamento in r = 3 ESATTAMENTE 2-ciclo: moltiplicatore −r² + 2r + 4: secondo raddoppiamento in r = 1 + √6 superstabile: f^(2^k)(1/2) = 1/2 in R1 = 2, R2 = 1 + √5, R3, R4, ... e (R_k − R_(k−1))/(R_(k+1) − R_k) → δ = 4.669 (Feigenbaum) la finestra di periodo-3 si apre per tangenza in r = 1 + √8 r = 4: f(sin²t) = sin²(2t) - raddoppio dell'angolo; esponente di Lyapunov λ = ln 2
