Math
Logistische Abbildung und Bifurkation
Die Periodenverdopplungs-Kaskade als leuchtender Vorhang, gefärbt vom Ljapunow-Exponenten, mit einem lebenden Spinnweb-Orbit am Marker - Verdopplungen exakt bei 3 und 1 + √6, Chaos am Ende.
Was passiert
Eine Zahl pro Schritt: x → r·x·(1 − x). Der Vorhang ist das Bifurkationsdiagramm - eine Spalte eingeschwungener Orbitpunkte pro r - und seine Farbe ist der GEMESSENE Ljapunow-Exponent: kühles Blau, wo ein Orbit anzieht, Glut, wo benachbarte Starts auseinanderfliegen, und die periodischen Fenster schneiden kalte Schlitze mitten durchs Feuer. Der goldene Marker wandert den Vorhang entlang, und das Spinnweb daneben spielt dasselbe r live: Parabel, Diagonale und der Orbit dazwischen - er setzt sich auf einen Punkt, einen 2-Zyklus, einen 4-Zyklus, oder nie. Die geschlossenen Formen stehen neben den Messungen: der Multiplikator des Fixpunkts ist 2 − r, also sitzt die erste Verdopplung exakt bei r = 3; der des 2-Zyklus ist −r² + 2r + 4, also die zweite bei 1 + √6; die Verhältnisse der Verdopplungsschritte schließen auf Feigenbaums δ = 4.669 - dieselbe Konstante für eine riesige Klasse von Abbildungen. Das Periode-3-Fenster öffnet sich durch Tangenz exakt bei 1 + √8, und bei r = 4 IST die Abbildung verkleidete Winkelverdopplung - ihr Ljapunow-Exponent ist ln 2.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen x → r·x·(1 − x) auf [0, 1] Fixpunkt: x* = 1 − 1/r, Multiplikator 2 − r: stabil für 1 < r < 3, erste Verdopplung bei r = 3 GENAU 2-Zyklus: Multiplikator −r² + 2r + 4: zweite Verdopplung bei r = 1 + √6 superstabil: f^(2^k)(1/2) = 1/2 bei R1 = 2, R2 = 1 + √5, R3, R4, ... und (R_k − R_(k−1))/(R_(k+1) − R_k) → δ = 4.669 (Feigenbaum) Periode-3-Fenster öffnet sich durch eine Tangentialbifurkation bei r = 1 + √8 r = 4: f(sin²t) = sin²(2t) - Winkelverdopplung; Lyapunov-Exponent λ = ln 2
