Math
Логистическое отображение и бифуркации
Каскад удвоений периода как светящийся занавес, окрашенный показателем Ляпунова, с живой паутинкой у маркера — удвоения ровно в 3 и 1 + √6, хаос в конце.
Что происходит
Одно число за шаг: x → r·x·(1 − x). Занавес — бифуркационная диаграмма, по столбцу устоявшихся точек орбиты на каждое r, — и его цвет — ИЗМЕРЕННЫЙ показатель Ляпунова: холодная синева там, где орбита притягивается, жар там, где соседние старты разлетаются, и периодические окна режут холодные прорези прямо сквозь огонь. Золотой маркер гуляет по занавесу, а паутинка рядом играет то же r вживую: парабола, диагональ и орбита, скачущая между ними, — оседает на точку, на 2-цикл, на 4-цикл или никогда. Замкнутые формы напечатаны рядом с измерениями: мультипликатор неподвижной точки — 2 − r, поэтому первое удвоение стоит ровно в r = 3; у 2-цикла — −r² + 2r + 4, поэтому второе — в 1 + √6; отношения шагов удвоений сходятся к δ Фейгенбаума 4.669 — той же константе для огромного класса отображений. Окно периода 3 открывается касанием ровно в 1 + √8, а при r = 4 отображение — переодетое удвоение угла, и его показатель Ляпунова равен ln 2.
Уравнения модуля
Уравнения отображение x → r·x·(1 − x) на [0, 1] неподвижная точка: x* = 1 − 1/r, мультипликатор 2 − r: устойчива при 1 < r < 3, первое удвоение при r = 3 ТОЧНО 2-цикл: мультипликатор −r² + 2r + 4: второе удвоение при r = 1 + √6 сверхустойчивые циклы: f^(2^k)(1/2) = 1/2 при R1 = 2, R2 = 1 + √5, R3, R4, ... и (R_k − R_(k−1))/(R_(k+1) − R_k) → δ = 4.669 (Фейгенбаум) окно периода-3 открывается касательной бифуркацией при r = 1 + √8 r = 4: f(sin²t) = sin²(2t) - удвоение угла; показатель Ляпунова λ = ln 2
