Math
Fourierreihen
Epizykel, die eine Zeichnung zusammensetzen, Sinusse, die eine Welle zusammensetzen, und das Überschwingen am Sprung, das nie verschwindet.
Was passiert
Jede geschlossene Zeichnung lässt sich als Summe von Kreisen schreiben: die Fourierkoeffizienten der Kurve, jeder ein Kreis vom Radius |c_k|, der sich k-mal je Umlauf dreht, Mitte auf Rand gestapelt, mit einem Stift am Ende des letzten Arms. Die größten Kreise kommen zuerst, und jeder weitere bringt den Stift näher an die Zeichnung – der rms-Fehler auf dem Panel ist gemessen, nicht versprochen; ein Quadrat braucht nur ungerade Harmonische mit wechselndem Vorzeichen. Die Spur bleibt auch in der Zeit, ein Korkenzieher in die Tiefe. Die Wellenansicht fächert die Harmonischen einer Rechteckwelle in die Tiefe, ein Sinus je Ebene, mit ihrer Summe davor: die Summe klettert zum Rechteck und schwingt am Sprung über, und das Überschwingen beträgt 8,95 % des Sprungs für jedes N über einem Dutzend – schmaler, nie kleiner. Das ist Gibbs, hier gemessen. Parseval schließt den Kreis: die Summe der |c_k|² ist das mittlere Quadrat des Signals.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen f(x) = a₀/2 + Σ (a_n cos nx + b_n sin nx), b_n = (1/π) ∫ f(x) sin nx dx Rechteckwelle: f = (4/π) Σ sin(nx)/n über ungerade n; Sägezahn 2/(πn), Dreieck 8/(π²n²) Gibbs: max S_N → 1 + 2·0.08949 für jedes große N - das Überschwingen wird schmaler, schrumpft aber nie Parseval: Σ |c_k|² = quadratischer Mittelwert von f Epizykel: c_k = (1/M) Σ z_m e^(−2πikm/M), z(t) = Σ c_k e^(2πikt): Kreise vom Radius |c_k|, die sich k-mal pro Umlauf drehen
