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Circonferenze tangenti

Inserisci un quarto disco tra tre dischi tangenti finché li tocca tutti, con lo spazio più stretto ingrandito; confronta la sua curvatura con la relazione di Cartesio, poi trova la seconda soluzione - un cerchio che li racchiude, una retta o un cerchio esterno - e fai crescere l'impacchettamento di Apollonio.

Di Mykhailo Makarov

Circonferenze tangenti — Immagine reale dell’applicazione
Immagine reale dell’applicazione

Cosa succede

Tre dischi si toccano a due a due. Quale cerchio li tocca tutti e tre? Inserisci un anello di ottone al centro: spostalo, tira il bordo, regola con la rotella; il riquadro ingrandisce lo spazio peggiore. La curvatura k = 1/r decide la misura: la relazione di Cartesio lega le quattro curvature e dà due risposte. La seconda ha segno: negativa per un cerchio che racchiude i tre, zero per una retta, positiva per un cerchio esterno. Ripetere la costruzione in ogni nuovo spazio fa crescere l'impacchettamento di Apollonio.

Equazioni del modulo
Equazioni
k = 1/r;   (k₁+k₂+k₃+k₄)² = 2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²)
k₄ = k₁+k₂+k₃ ± 2√(k₁k₂+k₂k₃+k₃k₁)
+ :  la circonferenza interna, k₄ > 0
− :  k₄ < 0 racchiude le tre,  k₄ = 0 una retta,  k₄ > 0 una circonferenza esterna
impacchettamento:  k' = 2(k₁+k₂+k₃) − k₄,   k'z' = 2(k₁z₁+k₂z₂+k₃z₃) − k₄z₄

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